Задачи, стр. 39 // Архив журнала «Квант»

Задача М318
В треугольнике $ABC$‍‍ проведены биссектрисы $[AD]$‍‍ и $[CE]$‍.‍ Докажите, что $|CE|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|$‍‍ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий:
1. $|AB|=|BC|$‍;‍
2. $\widehat{ABC}=60^\circ$‍.‍
Задача М320
Какие выпуклые $n$‍‍-угольники можно разбить на треугольники так, чтобы никакие два из треугольников разбиения не имели общих (полностью совпадающих) сторон? (На рисунке 1 показано, что треугольник так разбить можно.)
Задача М321
Имеется прямоугольный стол площадью 1. Докажите, что для любого его $\eps\gt0$‍‍ можно указать систему прямоугольных салфеток, покрывающих этот стол (края салфеток параллельны краям стола), такую что любая её подсистема, состоящая из неперекрывающихся салфеток, имеет площадь, меньшую…
Задача М322
1. Фигура, состоящая более чем из одной точки, является пересечением $N$‍‍ кругов. Докажите, что границу этой фигуры можно представить в виде объединения $2N - 2$‍‍ дуг окружностей.
2. В алфавите $N$‍‍ букв. Несколько букв…
Задача М323
Докажите, что любую функцию, определённую на всей числовой прямой, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которых имеет центр симметрии.
Задача М324
Имеется несколько кучек камней. Двое играют в игру, ход которой состоит в том, что игрок разбивает каждую кучку, состоящую более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Ходы делаются поочерёдно до тех пор, пока во всех кучках не останется по одному камню. Победителем считается игрок,…
Задача М325
В числовом треугольнике верхнее число равно 1 и крайние числа в каждой строке — тоже 1, а каждое из остальных чисел не меньше суммы двух чисел, стоящих над ним (в частности, этому условию удовлетворяет «треугольник Паскаля», изображённый на рис. 2). Пусть натуральное число $a$‍,‍…
Задача М326
Хорда окружности удалена от центра на расстояние $h$‍.‍ В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде (рис. 1). Чему равняется разность длин сторон этих квадратов?
Задача М327
В компании $N$‍‍ человек. Каждому из них нравится ровно $k$‍‍ людей из этой компании. При каком наименьшем $k$‍‍ можно утверждать, что обязательно найдутся два человека из этой компании, которые нравятся друг другу?
Задача М328
По правильному тетраэдру ползают муха и два паука. Муха ползает только по рёбрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.
1. Докажите, что при любом начальном расположении пауки смогут…

Задачник «Кванта»‍1104