«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Выпуклый $n$-угольник помещён в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три вершины $A$, $B$, $C$ этого $n$-угольника такие, что площадь треугольника $ABC$ меньше $\dfrac8{n^2}$.
На плоскости расположены два выпуклых многоугольника $M_0$ и $M_1$. Обозначим через $M$ множество точек, в которые может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит $M_0$, второй — $M_1$. Докажите, что…
Можно ли составить куб размерами $k\times k\times k$ из белых и чёрных кубиков $1\times1\times1$ так, чтобы для каждого кубика ровно два из его соседей имели бы тот же цвет, что и он сам? (Два кубика считаются соседними, если они имеют общую грань.)
Дан многочлен $P(x)$ с
Для каждого натурального числа $n$ через $a_n$ обозначим сумму цифр в…
Колба-шар ёмкостью $V = 1~\text{л}$ была откачана и закрыта. На стенках колбы остался мономолекулярный слой воздуха. Оценить давление, которое будет в колбе, нагретой до $300^\circ~\text{C}$, если известно, что при такой температуре стенки колбы полностью обезгаживаются.
Про последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ известно, что $|a_1|= 1$ и $|a_{k+1}|=|a_k+1|$ при каждом $k=1$, 2, $\ldots$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $|a_1+a_2+\ldots+a_n|$, если:
Может ли случиться, что ряд $a_1+a_2+a_3+\ldots$ сходится, а ряд $a_1^3+a_2^3+a_3^3+\ldots$ —…
Два бильярдных шара, один из которых первоначально покоится, испытывают упругое «косое» столкновение. Линия, проходящая через центры шаров при столкновении, составляет угол $60^\circ$ с направлением первоначального движения налетающего шара. Во время столкновения шары деформируются, и…