Задача Ф318‍‍

Пусть рассматриваемая система конденсаторов присоединена к источнику с напряжением $U$‍.‍ Из соображений симметрии следует, что заряды конденсаторов ёмкости $kC$‍‍ будут одинаковыми. Обозначим их через $Q$‍.‍ Аналогично равны заряды $q$‍‍ конденсаторов ёмкости $C$‍.‍ Заряд конденсатора $C_1$‍‍ обозначим через $q_1$‍.‍ Расставим произвольно знаки зарядов отдельных обкладок конденсаторов (см. рис. 6).

Заряд $Q_x=Q+q$‍‍ системы конденсаторов связан с напряжением $U=U_2+U_3=\dfrac qC+\dfrac Q{kC}$‍,‍ приложенным к системе, соотношением $Q_x=C_xU$‍,‍ где $C_x$‍‍ — ёмкость системы, т. е. $$ Q+q=C_x\left(\dfrac qC+\dfrac Q{kC}\right).\tag1 $$

Работа сил электростатического поля по перенесению любого, а значит и единичного, заряда по замкнутой траектории всегда равна нулю. Обойдя, например, верхний контур (см. рис. 6) против часовой стрелки, получим $$ U_1-U_2+U_3=\dfrac{q_1}{C_1}-\dfrac qC+\dfrac Q{kC}=0.\tag2 $$

Воспользуемся также законом сохранения заряда. Часть системы, показанная на рисунке 6 красным цветом (можно рассмотреть и участок, показанный синим цветом), до присоединения системы к источнику была нейтральной. Так как эта часть изолирована, её суммарный заряд останется равным нулю: $$ q+q_1-Q=0.\tag3 $$

Из уравнений (1)—(3) следует, что $$ C_x=\dfrac{2kC+(1+k)C_1}{2C_1+(1+k)C}C. $$ Отсюда легко получить, что

1. $C_x=C$‍‍ при $C_1=-C$‍,‍ что невозможно;
2. $C_x=kC$‍‍ ($k\ne1$‍)‍ при $C_1=-kC$‍,‍ что также невозможно;
3. $C_x=C_1$‍‍ при $C_1=\sqrt kC$‍.‍