«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
При каких $n$ правильный $n$-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все его вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Алфавит состоит из трёх букв: $a$, $b$, $c$. Назовём словом последовательность любой длины, состоящую из этих букв. При образовании слов некоторые буквосочетания (из двух и более букв) считаются запрещёнными. Известно, что в списке запрещённых…
На плоскости заданы $2n$ точек — $n$ синих и $n$ красных, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести $n$ отрезков так, что у каждого отрезка один конец лежит в красной точке, другой — в синей точке, и…
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$ ($[AB] \parallel [CD]$), $A'$ и $B'$ — точки, симметричные точкам $A$ и $B$ относительно биссектрисы угла $AOB$. Докажите, что…
Прямоугольник $300\times1000$ разрезан на квадраты $1\times1$, и в некоторых 30 вершинах квадратов помещены одинаковые гирьки. Докажите, что можно выбрать две непересекающиеся группы гирек — не более чем по 10 в каждой — так, что их центры тяжести совпадут.
Будем обозначать кружочком некоторую (неизвестную пока) операцию, применимую к любым двум целым неотрицательным числам $a$ и $b$ и дающую в результате тоже целое неотрицательное число $a\circ b=c$. Пусть операция «$\circ$» удовлетворяет следующим…
Из шахматной доски ($8\times8$) удалена одна угловая клетка ($1\times1$) (рис. 1). На какое наименьшее число равновеликих треугольников (одинаковых по площади) можно разрезать оставшуюся часть доски?
Плоскость разбита на одинаковые шестиугольные комнаты (рис. 2). В некоторых стенах проделаны двери так, что для любой вершины, в которой сходятся три стены (стороны шестиугольников), двери имеются ровно в двух стенах. Докажите, что любой замкнутый путь по такому лабиринту проходит через чётное…
Если при любом $x$ $$ a_1\cos x+a_2\cos2x+\ldots+a_n\cos nx\ge-1, $$ то для чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ выполнено неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n\le n. $$
Докажите это утверждение