Задачи, стр. 38 // Архив журнала «Квант»

Задача М310
Докажите, что среди $n$‍‍-значных чисел найдётся более $8^n$‍‍ таких, в десятичной записи которых никакая группа цифр (в частности никакая цифра) не встречается два раза подряд.
Задача Ф318
При каком $C_1$‍‍ ёмкость системы конденсаторов, показанной на рисунке 3, равна:
1. $C$‍;‍
2. $kC$‍‍ ($k \ne 1$‍);‍
3. $C_1$‍?‍
Задача Ф319
На расстоянии $2F$‍‍ от собирающей линзы $\text{Л}_1$‍‍ с фокусным расстоянием $F$‍‍ находится светящийся предмет. Освещённость чёткого изображения предмета на экране при этом равна $E_0$‍.‍ Между экраном и линзой $\text{Л}_1$‍‍ поместили рассеивающую…
Задача М311
Из одной бактерии получилось 1000 следующим образом: сначала бактерия разделилась на две, затем одна из двух получившихся бактерий разделилась на две, затем одна из трёх получившихся бактерий разделилась на две и т. д. Докажите, что в некоторый момент существовала такая бактерия, число потомков…
Задача М312
В параллелограмм $P_1$‍‍ вписан параллелограмм $P_2$‍,‍ в который в свою очередь вписан параллелограмм $P_3$‍,‍ причём стороны $P_3$‍‍ параллельны сторонам $P_1$‍.‍ Докажите, что хотя бы одна сторона параллелограмма $P_3$‍‍ по длине…
Задача М313
Дан угол с вершиной $O$‍.‍ Рассмотрим множество четвёртых вершин $M$‍‍ параллелограммов $ONML$‍,‍ вершины $N$‍‍ и $L$‍‍ которых лежат на сторонах данного угла, а площадь равна постоянной величине. (Это множество называется…
Задача М314
Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0, найти такое, для которого разность между самим числом и произведением его цифр:
1. наименьшая;
2. наибольшая.
Каков будет ответ для $n$‍‍-значных…
Задача М315
На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую вершину многогранника входит и из каждой выходит хотя бы одна стрелка. Докажите, что существуют по крайней мере две грани многогранника, каждую из которых можно обойти по периметру, двигаясь в соответствии с…
Задача М316
1. Докажите, что сумма квадратов $k$‍‍ последовательных натуральных чисел не может быть квадратом целого числа, если $k$‍‍ равно 3, 5, 7 или 9.
2. Придумайте 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат…
Задача М317
На некоторой планете каждая страна граничит не более чем с 7 другими. В каждой стране имеется запас золота. Требуется распределить золото так, чтобы каждые две страны, граничащие друг с другом, отличались по количеству золота не более чем в 13 раз. Докажите, что распределение золота можно…

Задачник «Кванта»‍1104