а) Рассмотрим три случая, соответствующие различным остаткам от деления $n$ на 3.
1°. Пусть $n=3k$. Тогда
$$
\begin{gather*}
x^{6k}+x^{3k}+1=(x^{6k}-1)+(x^{3k}-1)+3=\\
=(x^3-1)(x^{6k-3}+x^{6k-6}+\ldots+1)+(x^3-1)(x^{3k-3}+x^{3k-6}+\ldots+1)+3=(x^2+x+1)\,Q(x)+3,
\end{gather*}
$$
где $Q(x)=(x-1)[(x^{6k-3}+x^{6k-6}+\ldots+1)+(x^{3k-3}+x^{3k-6}+\ldots+1)]$.
Следовательно, если $n=3k$, то многочлен $x^{2n}+x^n+1$ при делении на $x^2+x+1$ даёт в остатке 3.
2°. Пусть $n=3k+1$. Имеем
$$
\begin{gather*}
x^{6k+2}+x^{3k+1}+1=(x^{6k+2}-x^2)+(x^{3k+1}-x)+(x^2+x+1)=\\
=x^2(x^{6k}-1)+x(x^{3k}-1)+(x^2+x+1).
\end{gather*}
$$
В 1° мы показали, что многочлены $x^{6k}-1$ и $x^{3k}-1$ делятся на $x^3-1$, следовательно, и на $x^2+x+1$; поэтому при $n=3k+1$ многочлен $x^{2n}+x^n+1$ делится на $x^2+x+1$.
3°. Пусть $n=3k+2$. Тогда
$$
\begin{gather*}
x^{6k+4}+x^{3k+2}+1=x^4 x^{6k}+x^2 x^{3k}+1=x^4(x^{6k}-1)+x^2(x^{3k}-1)+x^4+x^2+1=\\
=x^4(x^{6k}-1)+x^2(x^{3k}-1)+x(x^3-1)+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)[(x-1)\,R(x)+1],
\end{gather*}
$$
где $R(x)=x^4(x^{6k-3}+\ldots+1)+x^2(x^{3k-3}+\ldots+1)+x$ и многочлен $x^{2n}+x^n+1$ снова делится на $x^2+x+1$.
Итак, ответ в задаче a) таков: многочлен $x^{2n}+x^n+1$ делится на $x^2+x+1$, если $n$ не кратно трём.
б) При решении этой задачи можно воспользоваться результатом пункта a), поскольку все многочлены, получающиеся при делении, — частные и остатки — имеют целые коэффициенты. Действительно, при $x=10$ мы получим соответственно
$$
x^2+x+1=111,\quad
x^{2(n+1)}+x^{n+1}+1=1{\underbrace{0\ldots0}_n}1{\underbrace{0\ldots0}_n}1.
$$
С другой стороны, $10^{2m}+10^m+1$ делится на 3 при всех $m$, и вопрос о том, делится ли $10^{2m}+10^m+1$ на 37, эквивалентен вопросу о делимости $10^{2m}+10^m+1$ на $37\cdot3=111$. Ответ в этой задаче такой: число $1{\underbrace{0\ldots0}_n}1{\underbrace{0\ldots0}_n}1$ делится на 37, если $n$ кратно 3 или даёт при делении на 3 остаток 1.
