Задачи, стр. 41 // Архив журнала «Квант»

Задача М328
По правильному тетраэдру ползают муха и два паука. Муха ползает только по рёбрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.
1. Докажите, что при любом начальном расположении пауки смогут…
Задача М329
Выпуклый $n$‍‍-угольник помещён в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три вершины $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ этого $n$‍‍-угольника такие, что площадь треугольника $ABC$‍‍ меньше $\dfrac8{n^2}$‍.‍
Задача М330
На плоскости расположены два выпуклых многоугольника $M_0$‍‍ и $M_1$‍.‍ Обозначим через $M$‍‍ множество точек, в которые может попасть середина отрезка, один конец которого принадлежит $M_0$‍,‍ второй — $M_1$‍.‍ Докажите, что…
Задача М331
1. Треугольник $A_1B_1C_1$‍‍ получился из треугольника $ABC$‍‍ поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший $180^\circ$‍.‍ Докажите, что точки пересечения соответствующих прямых: $(AB)$‍‍ и $(A_1B_1)$‍,‍…
Задача М332
Можно ли составить куб размерами $k\times k\times k$‍‍ из белых и чёрных кубиков $1\times1\times1$‍‍ так, чтобы для каждого кубика ровно два из его соседей имели бы тот же цвет, что и он сам? (Два кубика считаются соседними, если они имеют общую грань.)
Задача М333
Три мухи ползают по сторонам треугольника $ABC$‍‍ так, что центр тяжести образуемого треугольника остаётся на одном месте. Докажите, что он совпадает с центром тяжести треугольника $ABC$‍,‍ если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центром…
Задача М334
Дан многочлен $P(x)$‍‍ с
1. натуральными коэффициентами,
2. целыми коэффициентами.
Для каждого натурального числа $n$‍‍ через $a_n$‍‍ обозначим сумму цифр в…
Задача М335
1. В квадрате $7\times7$‍‍ клеток отмечены центры $k$‍‍ клеток. При этом никакие четыре отмеченные точки не являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам квадрата. При каком наибольшем $k$‍‍ это…
Задача М336
В плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
Задача М338
На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешается стереть две неравные цифры и вместо них написать одну цифру, отличную от стёртых (2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2). Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра,…

Задачник «Кванта»‍1464