Допустим, что такой многогранник существует. Пусть $\alpha_1$, $\alpha_1$, $\ldots$, $\alpha_k$ — плоские углы его граней. Сосчитаем двумя разными способами, чему равно их среднее арифметическое. Сгруппируем углы по граням. Тогда, поскольку у каждой грани по крайней мере четыре угла, среднее арифметическое её углов не меньше $90^\circ$. Отсюда сразу следует, что и среднее арифметическое всех углов не меньше $90^\circ$. Сгруппируем их теперь по вершинам. Поскольку к каждой вершине примыкает хотя бы четыре угла, а сумма всех углов при вершине меньше $360^\circ$, то среднее арифметическое углов при вершине меньше $90^\circ$ . Но тогда и среднее арифметическое всех углов меньше $90^\circ$. А, как мы доказали выше, оно не меньше $90^\circ$. Полученное противоречие и доказывает, что таких выпуклых многогранников не существует.
Другое решение задачи можно получить, основываясь на формуле Эйлера. Пусть $\textit{В}$ — количество вершин, $\textit{Р}$ — рёбер, а $\textit{Г}$ — граней многогранника. Тогда для выпуклого многогранника (и вообще для многогранника без «сквозных дыр») справедливо такое равенство:
$$
\textit{В}-\textit{Р}+\textit{Г}=2.
$$
В нашем многограннике к каждой вершине примыкает не менее четырёх рёбер. Поэтому $\textit{Р}\ge\dfrac{4\textit{В}}2$. (Пополам надо делить потому, что каждое ребро примыкает к двум вершинам.) Аналогично, поскольку к каждой грани примыкает хотя бы четыре ребра, $\textit{Р}\ge\dfrac{4\textit{Г}}2$. Поэтому $2\textit{Р}\ge2(\textit{В}+\textit{Г})$, т. е. $\textit{Р}\ge\textit{В}+\textit{Г}$, а по формуле Эйлера $\textit{В}+\textit{Г}=\textit{Р}+2$. Таким образом, из существования многогранника, обладающего указанными свойствами, следовало бы, что $\textit{Р}\ge\textit{Р}+2$, что противоречиво.
