Задачник «Кванта» / Квант. — 2025. — № 11/12 / 2025 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15—24.

Задачи М2866 и М2872 предлагались нa IV Южно-Российской математической олимпиаде «Ассара», задачи М2867а), М2868⁠—⁠М2870 — на XLVII Турнире городов, задача М2871 на ХХ Южном математическом турнире, а М2873 — на июньских учебно-тренировочных сборах кандидатов в команду на Международную математическую олимпиаду.

Открыть в номере

Задачи М2866⁠—⁠М2873; Ф2873⁠—⁠Ф2880 Задачи М2866—М2873; Ф2873—Ф2880 // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15—17.

Задача М2866
Числа 1, 2, 3, $\ldots$‍,‍ 127 разбили на две группы. Может ли сумма произведений в этих группах оканчиваться ровно:
1. 10 нулями;
2. 30 нулями?
Задача М2867
По кругу стоят 30 мальчиков и 30 девочек.
1. Докажите, что можно выбрать 10 мальчиков и 10 девочек так, чтобы никакие двое из выбранных не стояли рядом (рис. 1).
2. Докажите, что можно выбрать даже 14 мальчиков и 14 девочек так, чтобы никакие двое из…
Задача М2868
У Пети есть 60 карточек с номерами от 1 до 60, на каждой написано действительное число. За один вопрос Вася может выбрать любые 17 номеров и узнать у Пети сумму чисел на карточках с этими номерами. Может ли Вася гарантированно определить сумму чисел на всех 60 карточках, задав:
Задача М2869
В выпуклом четырёхугольнике через середину каждой диагонали проведён отрезок с концами на сторонах четырёхугольника, параллельный другой диагонали (рис. 1). Докажите, что концы этих двух отрезков образуют четырёхугольник, в котором есть пара параллельных сторон.
Задача М2870
Улитка проползла по плоскости по контуру замкнутой несамопересекающейся $n$‍‍-звенной ломаной. Известно, что она двигалась только в трёх направлениях: вверх, вправо и вниз-влево (под углом $45^\circ$‍‍ к горизонтали). Докажите, что $n$‍‍ нечётно.
Задача М2871
Дано простое число $p\gt2$‍‍ и целое число $k$‍‍ такое, что $0\lt k\lt p-1$‍.‍ Докажите, что существует ровно $\dfrac{p-1}2$‍‍ пар целых чисел $a$‍‍ и $b$‍‍ таких, что $0\lt a\lt b\lt p$‍‍ и $\left\lfloor\dfrac{pa}b\right\rfloor=k$‍.‍
Задача М2872
Будем говорить, что два различных натуральных числа образуют красивую пару, если их произведение делится на их сумму. Будем называть два различных натуральных числа $a\gt2$‍,‍ $b\gt2$‍‍ связанными, если найдётся последовательность из нескольких натуральных…
Задача Ф2873
Текст задачи готовится
Задача М2873
Дано натуральное число $n$‍.‍ Правильный шестиугольник со стороной $n$‍‍ разбит на $6n^2$‍‍ правильных треугольничков со стороной 1. Ряд — это множество треугольничков между соседними параллельными отрезками разбиения. Петя поставил в некоторые…
Задача Ф2874
Текст задачи готовится
Задача Ф2875
Текст задачи готовится
Задача Ф2876
Текст задачи готовится
Задача Ф2877
Текст задачи готовится
Задача Ф2878
Текст задачи готовится
Задача Ф2879
Текст задачи готовится
Задача Ф2880
Текст задачи готовится

Решения задач М2854⁠—⁠М2857; Ф2861⁠—⁠Ф2864 Решения задач М2854—М2857; Ф2861—Ф2864 // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 17—24.

Задача М2854
У натурального числа $n\gt1$‍‍ все простые делители меньше 100. Докажите, что найдётся делитель числа $n$‍,‍ лежащий на отрезке $\left[\dfrac1{10}\sqrt n;\sqrt n\right]$‍.‍
Задача М2855
В неравнобедренном треугольнике $ABC$‍‍ вписанная окружность касается окружности девяти точек в точке $F$‍‍ (точке Фейербаха). Докажите, что
1. если $F$‍‍ лежит на высоте, проведённой из вершины $C$‍,‍ то…
Задача М2856
Соня загадывает многочлен $P(x)$‍‍ степени 2025 с вещественными коэффициентами. Лёня делает три хода. За ход он называет некоторый многочлен $Q$‍‍ с вещественными коэффициентами, и в ответ ему сразу же сообщают множество вещественных корней уравнения…
Задача М2857
В ряд стоят четверо мудрецов, каждый видит только следующих за ним в ряду, т. е. первый видит остальных троих, второй видит третьего и четвёртого, а третий видит лишь четвёртого. У чёртика есть 100 шляп, пронумерованных числами от 1 до 100, он надевает каждому мудрецу одну шляпу, а…
Задача Ф2861
Ровно в полдень от пристани $A$‍‍ к пристани $B$‍‍ вниз по течению реки отправились катер и моторная лодка. Скорости катера и лодки относительно воды равны $v_1=40~\text{км/ч}$‍‍ и $v_2=25~\text{км/ч}$‍‍ соответственно. Скорость течения реки $u=5~\text{км/ч}$‍.‍ Когда катер…
Задача Ф2862
Из листа бумаги в форме сектора круга свернули конус массой $m$‍‍ с углом раствора $2\alpha$‍.‍ Конус помещают на горизонтальную поверхность стола, прогибания бумаги не происходит. Трение между бумагой и столом отсутствует. Чтобы под действием силы тяжести конус не…
Задача Ф2863
F-образную трубку целиком заполнили ртутью, как показано на рисунке 2. Длина каждого колена трубки $L=\dfrac{p_0}{3\rho g}$‍,‍ где $p_0$‍‍ — атмосферное давление, $\rho$‍‍ — плотность ртути, $g$‍‍ — ускорение свободного падения. Трубку начинают двигать…
Задача Ф2864
Рефлектор Ньютона — это зepкальный аналог зрительной трубы Кеплера. Вогнутое сферическое зеркало $M_1$‍‍ (рис. 3), представляющее собой объектив телескопа-рефлектора, формирует в фокальной плоскости действительное изображение небесного светила. Это изображение…

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15—24.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 2025
Номер: 11/12
Страницы: 15—24
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15⁠—⁠24.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/2025/11-12/zadachnik_kvanta-2231e556/
Полный текст: опубликован 28.01.2026

Задачник «Кванта» (2025, № 11-12)Задачник «Кванта» // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15⁠—⁠24.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15—24.

Задачи М2866⁠—⁠М2873; Ф2873⁠—⁠Ф2880 Задачи М2866—М2873; Ф2873—Ф2880 // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15—17.

Решения задач М2854⁠—⁠М2857; Ф2861⁠—⁠Ф2864 Решения задач М2854—М2857; Ф2861—Ф2864 // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 17—24.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 2025. — № 11/12. — С. 15—24.