«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$ взята произвольная точка $P$. Из вершины $A_1$, опущен перпендикуляр на прямую $A_2P$, из вершины $A_2$ — на $A_3P$, из $A_3$ — на $A_4P$, из $A_4$ — на…
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Известно, что если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из машин, стоящих на дороге,…
Докажите, что числа 1, 2, ..., $n$ ни при каком $n$ нельзя разбить нa две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнялось произведению чисел в другой.
Пусть $A$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую $l$.
На этой прямой взяты еще две точки $B$ и $C$ так, что $AB+AC$.
Через точки $B$ и…
Докажите, что если $a_1$, $a_2$, ..., $a_m$ — попарно различные натуральные числа, ни одно из которых не делится на квадрат целого числа, большего единицы, а $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ — целые числа, отличные от нуля,…
Текст задачи готовится
Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось ровно сто 20-угольников?
Во всех клетках таблицы $100\times 100$ стоят плюсы. Разрешается одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или одного столбца. Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно 1970 минусов?
Имеется натуральное число $n \gt 1000$. Возьмём остатки от деления числа $2^n$ на числа 1, 2, 3, ..., $n$ и найдём сумму всех этих остатков. Доказать, что эта сумма больше $2n$.
Найти давление в центре жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость несжимаема и имеет — плотность $\rho$.
U-образная трубка заполнена водой. Из одного колена воздух удалён; давление воздуха в другом колене при температуре $t=20\celsius$ равно атмосферному. Оба конца трубки запаяны. Разность между уровнями воды в коленах равна 15 м. Какой будет разность уровней воды в коленах, если…
Фотографировать тигра с расстояния менее 20 метров опасно. Какой размер может иметь камера-обскура с отверстием диаметром в 1 мм, чтобы тигр на фотографии был полосатым? Расстояние между полосами на шкуре тигра равно 20 см.
