Пусть расстояние $l$ между кубиками минимально или максимально (будем говорить «экстремально»). Тогда оба кубика движутся с одинаковой скоростью $v$, и кинетическая энергия системы равна $2\cdot\dfrac{mv^2}2=mv^2$. В то же время потенциальная энергия системы равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. $\dfrac{kx^2}2$, где $x$ — изменение длины пружины ($x$ может быть как положительным — тогда длина пружины $l=l_0-x$ меньше $l_0$, так и отрицательным — тогда длина пружины больше $l_0$). Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, т. е. $mv^2+\dfrac{kx^2}2$. Так как эту энергию система приобрела благодаря работе силы $F$, то мы можем записать, что $$
FL=mv^2+\dfrac{kx^2}2.\tag{*}
$$
$L$ — расстояние, пройденное левым кубиком к тому моменту, когда длина пружины стала экстремальной (рис. 6):
$$
L=S+\dfrac{l_0}2-\dfrac{l_0-x}2=S+\dfrac x2
$$
($S$ — расстояние, пройденное центром масс системы).
Рис. 5Рис. 6
Скорость $v$ кубиков равна скорости центра масс системы. На систему действует постоянная внешняя сила, и она движется равноускоренно с ускорением $a=\dfrac F{2m}$. Поэтому, если обозначить через $t$ время от нaчала движения до того момента, когда длина пружины стала равна $L$, то $v=at$ и $L=\dfrac{at^2}2+\dfrac x2$. Подставляя эти выражения для $v$ и $L$ в уравнение (*), получим
$$
F\left(\dfrac{at^2}2+\dfrac x2\right)=ma^2t^2+\dfrac{kx^2}2.
$$
Отсюда
$$
\dfrac{F^2t^2}{4m}+\dfrac x2F=\dfrac{F^2t^2}{4m}+\dfrac{kx^2}2
$$
или $Fx=kx^2$. Следовательно, $x_1=0$, $x_2=\dfrac Fk$.
Таким образом, минимальное расстояние между грузами равно $l_{\min}=l_0-x_2=l_0-\dfrac Fk$, а максимальное $l_{\max}=l_0-x_1=l_0$.
