«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Две точки $P$ и $Q$ движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точек $P$ и $Q$ в…
Докажите, что если для чисел $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ выполнено неравенство $$ (q_1-q_2)^2+(p_1-p_2)(p_1q_2-p_2q_1)\lt0, $$ то квадратные трёхчлены $$ x^2+p_1x+q_1\quad\text{и}\quad x^2+p_2x+q_2 $$ имеют вещественные корни и между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.
Докажите, что если четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность, таков, что касательные к окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются на продолжении диагонали $BD$, то
На рёбрах $A'D'$ и $C'D'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ выбирают две точки $K$ и $M$ так, что плоскость $KDM$ касается шара, вписанного в куб (рис. 3). Докажите, что величина $\phi$ двухгранного угла при ребре…
$AB$ и $CD$ — две различные касательные к двум данным шарам ($A$ и $C$ принадлежат поверхности одного шара, $B$ и $D$ — другого). Докажите, что проекции отрезков $AC$ и $BD$ на…
Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности, а точки $K$ и $H$ построены так, что все четыре угла $KAB$, $KCD$, $HBA$ и $HDC$ — прямые. Докажите, что прямая $KH$ проходит через…
На плоскости заданы окружность $\gamma$ и точка $P$ внутри неё. Рассмотрим множество тетраэдров $ABCD$, у которых все четыре грани конгруэнтны, причём треугольник $ABC$ вписан в окружность $\gamma$ так, что его медианы пересекаются в…
Пусть $ABCD$ — произвольный тетраэдр. Докажите, что:
Окружность касается трёх полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$ и $AC$ ($C\in[AB]$). Докажите, что радиус окружности вдвое меньше расстояния от её центра до прямой $AB$.
Два велосипедиста едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной из точек их пересечения и сделав по одному обороту, велосипедисты вновь встретились в этой точке. Докажите, что на плоскости, в которой лежат…
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника $ABCD$ выполнено равенство $|CD|=|AD|+|BC|$, то биссектрисы его углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $CD$.
В условии задачи М630, опубликованной в «Кванте» (1980, №6, с. 19), допущена неточность. Первые два предложения должны быть таковы:
На плоскости даны окружность $\gamma$ и точка $K$. Проведём через произвольные точки $P$,…
На диаметре $AC$ некоторой окружности дана точка $E$. Проведите через неё хорду $BD$ так, чтобы площадь четырёхугольника $ABCD$ была наибольшей.
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что
Пусть $A$ — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$, $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ — общие касательные, $M_1$ и $M_2$ — cepeдины хорд $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ этих…
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие основания высот в каждой грани, параллельны одной плоскости. (Плоские углы при вершине — не прямые.)
Две касательные к окружности, $CA$ и $CB$, пересекаются в точке $C$ ($A$ и $B$ — точки касания, рис. 1). Вторая окружность проходит через точку $C$, касается прямой $AB$ в точке $B$…
Докажите, что площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади грани куба. Рассмотрите случаи, когда это сечение
Дан правильный $(4k+2)$-угольник $A_0A_1\ldots A_{4k+1}$ с центром $O$. Докажите, что сумма отрезков, высекаемых углом $A_kOA_{k+1}$ на прямых $A_1A_{2k}$, $A_2A_{2k-1}$, $\ldots$, $A_kA_{k+1}$ (см. рисунок 1 для $k=2$), равна…
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Докажите, что если $\angle BEA=45^\circ$, то и $\angle EHC=45^\circ$.
Рассмотрим все тетраэдры $AXBY$, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$ и $B$ сумма углов четырёхугольника $AXBY$, т. е. сумма $$ \angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX, $$ не зависит от выбора точек $X$ и…
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки $C$, $K$ и…
Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник…
Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство $$ r\lt\dfrac{ab}{2(a+b)}, $$ где $a$, $b$ — длины двух скрещивающихся рёбер, а $r$ — радиус вписанного шара.
На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки $A$ и $B$, на другой — $C$ и $D$. Отрезок $AC$ проходит через общую точку сфер. Отрезок $BD$ проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой,…
На всех шести рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах, выходящих из одной вершины, проведём плоскость. Докажите, что если три из них касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость тоже касается вписанного шара.
Текст задачи готовится
На основании $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ так, что окружность, вписанная в треугольник $ABD$, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков $BC$ и $BD$ и…
В данный угол вписаны два непересекающихся круга. Треугольник $ABC$ расположен между кругами так, что его вершины лежат на сторонах угла, а равные стороны $AB$ и $AC$ касаются соответствующих кругов. Докажите, что сумма радиусов кругов равна высоте…
Внутри правильного тетраэдра с ребром $a$ летает муха. Какой наименьший замкнутый путь должна пролететь муха, чтобы побывать на всех гранях тетраэдра?
$A$ и $B$ — две данные точки окружности. Найдите геометрическое место середин хорд этой окружности, пересекающих отрезок $AB$.
Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Докажите, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.
Опустим из любой точки $P$ биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ перпендикуляры $PA_1$, $PB_1$, $PC_1$ на его стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Пусть $R$…
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $L$, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ (рис. 2). Пусть $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус…