«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Педагог, специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки, автор учебников и пособий для школьников.
Две точки $P$ и $Q$ движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точек $P$ и $Q$ в…
Докажите, что если для чисел $p_1$, $p_2$, $q_1$, $q_2$ выполнено неравенство $$ (q_1-q_2)^2+(p_1-p_2)(p_1q_2-p_2q_1)\lt0, $$ то квадратные трёхчлены $$ x^2+p_1x+q_1\quad\text{и}\quad x^2+p_2x+q_2 $$ имеют вещественные корни и между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.
Докажите, что если четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность, таков, что касательные к окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются на продолжении диагонали $BD$, то
На сторонах треугольника $ABC$, как на основаниях, построены равнобедренные треугольники $AB_1C$, $BA_1C$ и $AC_1B$ (рис. 1). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек $A$, $B$ и $C$ соответственно на…
Опустим из любой точки $P$ биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ перпендикуляры $PA_1$, $PB_1$, $PC_1$ на его стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Пусть $R$…
На рёбрах $A'D'$ и $C'D'$ куба $ABCDA'B'C'D'$ выбирают две точки $K$ и $M$ так, что плоскость $KDM$ касается шара, вписанного в куб (рис. 3). Докажите, что величина $\phi$ двухгранного угла при ребре…
$AB$ и $CD$ — две различные касательные к двум данным шарам ($A$ и $C$ принадлежат поверхности одного шара, $B$ и $D$ — другого). Докажите, что проекции отрезков $AC$ и $BD$ на…
Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности, а точки $K$ и $H$ построены так, что все четыре угла $KAB$, $KCD$, $HBA$ и $HDC$ — прямые. Докажите, что прямая $KH$ проходит через…
Текст задачи готовится
Окружность касается трёх полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$ и $AC$ ($C \in [AB]$). Докажите, что радиус окружности вдвое меньше расстояния от её центра до прямой $AB$.
Два велосипедиста едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной из точек их пересечения и сделав по одному обороту, велосипедисты вновь встретились в этой точке. Докажите, что на плоскости, в которой лежат…
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника $ABCD$ выполнено равенство $|CD|=|AD|+|BC|$, то биссектрисы его углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $CD$.
В условии задачи М630, опубликованной в «Кванте» (1980, № 6, с. 19), допущена неточность. Первые два предложения должны быть таковы:
На плоскости даны окружность $\gamma$ и точка $K$. Проведём через произвольные точки $P$,…
На диаметре $AC$ некоторой окружности дана точка $E$. Проведите через неё хорду $BD$ так, чтобы площадь четырёхугольника $ABCD$ была наибольшей.
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $L$, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ (рис. 2). Пусть $R$ — радиус описанной, $r$ — радиус…
Пусть $A$ — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$, $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ — общие касательные, $M_1$ и $M_2$ — cepeдины хорд $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ этих окружностей…
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие основания высот в каждой грани, параллельны одной плоскости. (Плоские углы при вершине — не прямые.)
Две касательные к окружности, $CA$ и $CB$, пересекаются в точке $C$ ($A$ и $B$ — точки касания, рис. 1). Вторая окружность проходит через точку $C$, касается прямой $AB$ в точке $B$…
Докажите, что площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади грани куба. Рассмотрите случаи, когда это сечение
Дан правильный $(4k+2)$-угольник $A_0A_1 \ldots A_{4k+1}$ с центром $O$. Докажите, что сумма отрезков, высекаемых углом $A_kOA_{k+1}$ на прямых $A_1A_{2k}$, $A_2A_{2k-1}$, $\ldots$, $A_kA_{k+1}$ (см. рисунок 1 для $k=2$), равна радиусу…
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Докажите, что если $\angle BEA=45^\circ$, то и $\angle EHC=45^\circ$.
Рассмотрим все тетраэдры $AXBY$, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$ и $B$ сумма углов четырёхугольника $AXBY$, т. е. сумма $$ \angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX, $$ не зависит от выбора точек $X$ и…
Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки $C$, $K$ и…
Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник…
Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство $$ r\lt\dfrac{ab}{2(a+b)}, $$ где $a$, $b$ — длины двух скрещивающихся рёбер, а $r$ — радиус вписанного шара.
На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки $A$ и $B$, на другой — $C$ и $D$. Отрезок $AC$ проходит через общую точку сфер. Отрезок $BD$ проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой,…
На основании $AB$ равнобедренного треугольника $ACB$ выбрана точка $D$ так, что окружность, вписанная в треугольник $BCD$, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков $CA$ и $CD$ и…
В данный угол вписаны два непересекающихся круга. Треугольник $ABC$ расположен между кругами так, что его вершины лежат на сторонах угла, а равные стороны $AB$ и $AC$ касаются соответствующих кругов. Докажите, что сумма радиусов кругов равна высоте…
Внутри правильного тетраэдра с ребром $a$ летает муха. Какой наименьший замкнутый путь должна пролететь муха, чтобы побывать на всех гранях тетраэдра?
$A$ и $B$ — две данные точки окружности. Найдите геометрическое место середин хорд этой окружности, пересекающих отрезок $AB$.
Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с шестью вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Докажите, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.