Окружность касается трёх полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$ и $AC$ ($C\in[AB]$). Докажите, что радиус окружности вдвое меньше расстояния от её центра до прямой $AB$.
Пусть $O_1$ — центр полуокружности $\gamma_1$ с диаметром $[AC]$, $O_2$ — центр полуокружности $\gamma_2$ с диаметром $[BC]$, $O_3$ — центр полуокружности $\gamma_3$ с диаметром $[AB]$, и, наконец, $O$ — центр окружности $\gamma$, касающейся трёх данных полуокружностей (рис. 1). Обозначим длины радиусов окружностей $\gamma_1$, $\gamma_2$ и $\gamma$, соответственно, через $r$, $R$ и $x$. Тогда длина радиуса полуокружности $\gamma_3$ равна $R+r$.
Рис. 1
Рассмотрим треугольник $O_1OO_2$. Имеем: $|O_1O|=r+x$, $|OO_2|=R+x$, $|O_1O_2|=R+r$. Обозначим расстояние от центра $O$ до прямой $AB$ через $h$. Записав площадь треугольника $O_1OO_2$ по формуле Герона и через длины основания $[O_1O_2]$ и высоты, опущённой из вершины $O$, получим уравнение
$$
\sqrt{Rrx(R+r+x)}=\dfrac12(R+r)h.
$$
Аналогичное уравнение для треугольника $O_1OO_3$ имеет вид $$
\sqrt{rx(R+r)(R-r)}=\dfrac12Rh.
$$
Возводя левую и правую части обоих уравнений в квадрат и затем вычитая из одного уравнения другое, получаем
$$
rx[R(R+r+x)-(R+r)(R-r)]=\dfrac14h^2[(R+r)^2-R^2],
$$
откуда $x^2=\dfrac{h^2}4$, т. е. $x=\dfrac h2$, что и требовалось.
Произведём инверсию $I$ относительно произвольной окружности с центром в точке $C$. При этой инверсии окружности $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$ и $\gamma$ преобразуются так, как показано на рисунке 2: окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$ перейдут, соответственно, в прямые $l_1$ и $l_2$, перпендикулярные $[AB]$, а окружности $\gamma_3$ и $\gamma$ — соответственно в окружности $\gamma'_3$ и $\gamma'$, касающиеся прямых $l_1$ и $l_2$, причём центр окружности $\gamma'_3$ принадлежит прямой $AB$ (эта прямая на рисунках 1 и 2 выделена красным цветом).
Рис. 2Рис. 3
Легко сообразить, что окружности $\gamma$ и $\gamma'=I(\gamma)$ гомотетичны с центром гомотетии $C$. Это видно из рисунка 3: проходящие через точку $C$ касательные окружности $\gamma$ при инверсии $I$ переходят в себя и являются касательными к окружности $\gamma'=I(\gamma)$. Обозначим радиус окружности $\gamma'$ через $x'$, а через $d$ — расстояние от центра окружности $\gamma'$ до прямой $AB$. Поскольку $\gamma$ и $\gamma'$ гомотетичны, имеем $\dfrac hd=\dfrac x{x'}$ ($h$ — расстояние от центра окружности $\gamma$ до прямой $AB$, $x$ — радиус $\gamma$). Но, очевидно, $x'=\dfrac d2$ (окружности $\gamma'$ и $\gamma'_3$ — одинакового радиуса, см. рис. 2), так что $x=\dfrac h2$, что и требовалось доказать.
