Задача М633‍‍

Пусть $O$‍‍ — центр, $R$‍‍ — радиус окружности, $|OE|=a$‍.‍ Легко видеть (см. рисунок), что‍ $S_{ABCD}=\dfrac{2R}aS_{\triangle OBD}$‍.‍ Следовательно, площадь четырёхугольника наибольшая, когда наибольшей является площадь треугольника $OBD$‍.‍ Треугольник $OBD$‍‍ равнобедренный, $|OB|=|OD|=R$‍,‍ $S_{\triangle OBD}=\dfrac12R^2\sin\phi$‍,‍ где $\phi=\widehat{BOD}$‍.‍ Угол $\phi$‍‍ тем‍ меньше, чем меньше длина хорды $BD$‍‍ или, соответственно, чем длиннее проведённый к этой хорде перпендикуляр $OH$‍.‍ Поскольку $|OH|\le|OE|=a$‍,‍ наименьшее значение $\phi=\phi_0$‍,‍ характеризуется тем, что отрезки $OH$‍‍ и $OE$‍‍ совпадают, что соответствует хорде $BD$‍,‍ перпендикулярной $AC$‍;‍ для этого значения $\cos\dfrac{\phi_0}2=\dfrac aR$‍.‍

Итак, остаётся найти наибольшее значение площади треугольника $OBD$‍‍ при $\phi_0\le\phi\lt\pi$‍.‍ Возможны два случая:

1. Если $\phi_0\le\dfrac\pi2$‍,‍ то максимум достигается при $\phi=\dfrac{\pi}{2}$‍.‍ В этом случае $$ \dfrac aR=\cos\dfrac{\phi_0}2\ge\cos\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2,\quad a\ge\dfrac R{\sqrt2}, $$ a искомая хорда $BD$‍,‍ стягивающая дугу в $90^{\circ}$‍,‍ должна отстоять от центра на расстояние $\dfrac R{\sqrt2}$‍,‍ т. е. должна касаться окружности с центром $O$‍‍ радиуса $\dfrac R{\sqrt2}$‍.‍
2. Если же $\phi_0\gt\dfrac\pi2$‍,‍ что будет при $a\lt\dfrac R{\sqrt2}$‍,‍ то максимум площади достигается при $\phi=\phi_0$‍‍ — искомая хорда $BD$‍‍ должна быть перпендикулярна диаметру $AC$‍.‍