На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки $A$ и $B$, на другой — $C$ и $D$. Отрезок $AC$ проходит через общую точку сфер. Отрезок $BD$ проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков $AB$ и $CD$ на прямую $AC$ равны.
И. Ф. Шарыгин
Всесоюзная математическая олимпиада (XXIII, 1989 год)
Пусть $E$ и $F$ — общие точки сфер, лежащие соответственно на $AC$ и $BD$, $O_1$, и $O_2$, — центры сфер, $G$ — точка, симметричная $F$ относительно прямой $O_1O_2$. Очевидно, $G$ — также общая точка сфер, причём $BG$ и $DG$ — диаметры сфер (рис. 1).
Рис. 1Рис. 2
Будем обозначать через $X'$ проекцию произвольной точки $X$ на $AC$. Тогда ясно, что $O'_1$ — это середина хорды $AE$ сферы $O_1$, $O'_2$ — середина хорды $EC$ сферы $O_2$. В то же время $O'_1$ — середина отрезка $B'G'$, так как $O_1$ — середина $BG$, а $O'_2$; — середина отрезка $G'D'$. Отсюда следует (см. рис. 2), что $AB'=G'E$, а $G'E=D'C$, т. е. $AB'=D'C$.
