«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Назовём $k$-звездой фигуру на плоскости, состоящую из $k$ лучей с общим началом, разбивающих плоскость на $k$ равных углов (по $360^\circ/k$). При каких $k\gt 2$ верно следующее утверждение: для любых $k$ точек…
На плоскости дан выпуклый $n$-угольник, у которого длина $k$-й стороны равна $a_k$, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна $d_k$ ($k=1$, 2, $\ldots$, $n$). Докажите…
Пусть $n$ — натуральное число и $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2n+1}$ подмножества некоторого множества $B$. Предположим, что
Функция $f$ определена на множестве целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям: $$\begin{gathered} f(1)=1,\quad f(3)=3,\quad f(2n)=f(n),\\ f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),\quad f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n) \end{gathered}$$ Найдите число всех таких значений $n$, для которых $f(n)=n$ и $1\le n\le 1988$.
Докажите, что множество решений неравенства $$ \textstyle\sum\limits_{k=1}^{70}\dfrac{k}{x-k}\ge \dfrac54 $$ является объединением непересекающхся промежутков, сумма длин которых равна 1988.
Пусть $AD$ — высота в прямоугольном треугольнике $ABC$, $\angle A=90^\circ$. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках…
Пусть $a$ и $b$ — целые положительные числа такие, что $a^2+b^2$ делится на $ab+1$ без остатка. Докажите, что $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ — квадрат целого числа.
Докажите для неотрицательных чисел $A$, $M$, $S$ неравенство $$ 3+(A+M+S)+\left(\dfrac1A+\dfrac1M+\dfrac1S\right)+ \left(\dfrac AM+\dfrac MS+\dfrac SA\right)\ge \dfrac{3(A+1)(M+1)(S+1)}{AMS+1}. $$
Эту задачу автор посвятил 100-летию Американского математического общества (American Mathematical Society — AMS), которое отмечается в этом году.
В выпуклом $n$-угольнике все углы равны и из некоторой точки, расположенной внутри $n$-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что этот $n$-угольник правильный.