«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника, то $$2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+3.$$
В выпуклом $n$-угольнике ($n\gt4$) никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наибольшее число диагоналей в нём можно провести так, чтобы все части, на которые они разобьют $n$-угольник, оказались треугольниками?
Для данного натурального $n\gt1$ выпишем наибольшие общие делители всевозможных пар различных чисел от 1 до $n$. Докажите, что
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекают касательную, проведённую в точке $B$, соответственно в точках $M$ и $N$. В…
На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа $a$ и $b$, то можно написать число $ab+a+b$. Можно ли этим способом получить
В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолёты нескольких компаний). Каждые два города связаны по…
Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство $$ r\lt\dfrac{ab}{2(a+b)}, $$ где $a$, $b$ — длины двух скрещивающихся рёбер, а $r$ — радиус вписанного шара.
Какое наибольшее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямоугольник площадью:
(Считаются узлы, лежащие внутри и на границе прямоугольника. Площадь клетки…
Дан произвольный треугольник. Докажите, что