Задачи по математике, стр. 94 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М1138
Докажите, что для любого натурального $n$‍‍ между числами $n^2$‍‍ и $n^2+n+3\sqrt{n}$‍‍ найдутся три натуральных числа, произведение двух из которых делится на третье.
Задача М1139
1. Поверхность выпуклого многогранника можно разрезать на несколько квадратов. Докажите, что у этого многогранника не больше 8 вершин.
2. Какое наибольшее число вершин может иметь выпуклый многогранник, поверхность которого можно разрезать на правильные…
Задача М1140
Нарисуем на плоскости одну или несколько пересекающихся кривых (кривые могут иметь точки самопересечения, рис. 1). В каждой точке пересечения можно двумя способами выполнить «перестройку» (рис. 2). Если проделать перестройку во всех точках пересечения, то получится несколько непересекающихся…
Задача М1142
Таблица $m\times n$‍‍ заполнена $mn$‍‍ числами так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют арифметическую прогрессию. Сумма четырёх чисел, стоящих в углах таблицы, равна $s$‍.‍ Чему равна сумма всех чисел в таблице?
Задача М1143
Масса каждой из 101 гирек, расположенных по окружности, — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.
Задача М1145
Из точки $P$‍‍ проведены две касательные $PB$‍‍ и $PC$‍‍ к окружности, причём $\angle BPC \gt 90^{\circ}$‍.‍ На меньшей дуге $BC$‍‍ взята точка $A$‍.‍ Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла $BPC$‍‍ касательной к…
Задача М1146
Точка $K$‍‍ — середина стороны $AB$‍‍ равностороннего треугольника $ABC$‍.‍ На сторонах $AC$‍‍ и $BC$‍‍ взяты точки $M$‍‍ и $N$‍‍ так, что $\angle MKN=60^{\circ}$‍.‍ Докажите, что периметр треугольника…
Задача М1147
Задано несколько точек, соединённых отрезками двух цветов: некоторые пары точек — голубыми отрезками, некоторые другие — красными. Известно, что в любом замкнутом пути, состоящем из нескольких отрезков, число красных отрезков чётно. Докажите, что все точки можно разбить на два множества так, что…
Задача М1149
На плоскости заданы два луча $p$‍,‍ $q$‍‍ с вершинами в точках $P$‍‍ и $Q$‍‍ соответственно. Две окружности — одна с центром на луче $p$‍,‍ проходящая через точку $P$‍,‍ и другая с центром на луче $q$‍,‍…
Задача М1160
У одного конца $A$‍‍ прямолинейной дороги $AB$‍‍ собрались 10 кенгуру и начали играть в чехарду. Они прыгают по очереди: первый каждый раз прыгает, куда хочет; второй прыгает через первого так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концом прыжка,…

Задачи по математике‍993