«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дан правильный $(4k+2)$-угольник $A_0A_1\ldots A_{4k+1}$ с центром $O$. Докажите, что сумма отрезков, высекаемых углом $A_kOA_{k+1}$ на прямых $A_1A_{2k}$, $A_2A_{2k-1}$, $\ldots$, $A_kA_{k+1}$ (см. рисунок 1 для $k=2$), равна…
Числа 1, 2, $\ldots$, $2n-1$, $2n$ разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ — числа первой группы в порядке возрастания, $b_1\gt b_2\gt\ldots\gt b_n$ — числа второй группы в порядке убывания. Докажите,…
Последовательность $a_1$, $a_2$, $\ldots$ задаётся правилами: $a_{2n}=a_n$ при $n\ge 1$ и $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ при $n\ge 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.
Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 2. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против…
Дана строго возрастающая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ Докажите, что для всех достаточно больших $k$ справедливо неравенство
Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
На доске в строку написаны числа $$1\quad\dfrac{1}{2}\quad\dfrac{1}{3}\quad\dfrac{1}{4}\quad{\ldots}\quad\dfrac{1}{10}\quad\dfrac{1}{11}\quad\dfrac{1}{12}.$$
Правильный треугольник $ABC$ полностью покрыт пятью меньшими равными правильными треугольниками. Докажите, что треугольник $ABC$ можно полностью покрыть четырьмя такими треугольниками (эти треугольники разрешается передвигать).
Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$, 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?
Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном городе. Каждый участок представляет собой квадрат $1\times1$ и все участки вместе составляют квадрат $5\times5$. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить…