«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В бильярдном треугольнике вплотную помещается 10 шаров (рис. 1). Докажите, что если в нём поместить 9 шаров, то обязательно останется место для десятого (т. е. центры 9 шаров расположатся по треугольной сетке).
Найдите все решения в целых числах $(x, y)$ уравнения $$ x^{3}-13xy+y^{3}=13. $$
Черепаха вышла из точки $A$ и пришла в точку $B$, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки $A$ вышла вторая черепаха, которая в каждый момент времени двигалась в направлении первой…
Натуральное число $n$ называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, меньших $n$ (например: $28=1+2+4+7+14$). Докажите, что нечётное совершенное число (если такое существует) не может одновременно делиться на 3, на 5…
Докажите, что квадрат со стороной $n$ ($n$ — натуральное число), расположенный произвольным образом на листе клетчатой бумаги с клетками $1\times1$, покрывает не более $(n+1)^2$ узлов сетки.
Докажите неравенство $a^{2}pq+b^{2}qr+c^{2}rp \le 0$, где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, $p+q+r=0$.
Сколько существует перестановок чисел 1, 2, $\ldots$, $n$, в которых для любого числа $i$, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$ и $i+1$ находится левее $i$?
В стране 1989 городов и 4000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите, что можно выбрать кольцевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.
Пусть $M$ — точка, лежащая внутри прямоугольника $ABCD$, $S$ — его площадь. Докажите неравенство $$ S\le AM\cdot CM+BM\cdot DM. $$
Рассмотрим разбиения данного выпуклого $n$-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Назовём перестройкой следующее преобразование: вместо некоторой диагонали $BC$, служащей общей стороной двух треугольников $ABC$ и $BCD$…