Задача М969‍‍

Заметим, что $$ \dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0, $$ поэтому левую часть нашего неравенства можно переписать в виде $$ \dfrac12\left(\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\right).\tag{*} $$ А поскольку $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$‍‍ и $$ \dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}-\dfrac13=\dfrac{2(a^2-2ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{2(a-b)^2}{a^2+ab+b^2}\ge0, $$ первое слагаемое в (*) не меньше чем $\dfrac{a+b}3$‍,‍ аналогично, второе — не меньше $\dfrac{b+c}3$‍,‍ третье — $\dfrac{c+a}3$‍,‍ т. е. всё выражение (*) не меньше чем $$ \dfrac12\left(\dfrac{a+b}3+\dfrac{b+c}3+\dfrac{c+a}3\right)=\dfrac{a+b+c}3, $$ что и требовалось доказать.