«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Разложите на простые множители число $989 \cdot 1001 \cdot 1007 +320$.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка $O$, из которой все стороны видны под углом $60^\circ$. Докажите, что если $OA_1\gt OA_3\gt OA_5$ и $OA_2\gt OA_4\gt OA_6$, то $$ A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6\lt A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1. $$
Дана стопка из $2n+1$ карточек, с которой разрешается производить следующие две операции:
Найдите наибольшее натуральное число, в десятичной записи которого каждая цифра (кроме крайних) строго меньше полусуммы двух соседних с ней цифр.
Биссектриса угла $A$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$, а описанную окружность треугольника — в точке $N$ (отличной от $A$); $K$ и $M$ — основания…
Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n$ ($n\ge1$) элементов, имеющих ровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:
Примечание.…
Функция $f$ определена на множестве $\N_0$ всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство $f(f(n))=n+1987$ не может выполняться для всех $n$ из $\N_0$.
Пусть $n$— натуральное число, $n\ge3$. Можно ли расположить на плоскости $n$ точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражалось иррациональным числом, а площадь треугольника с вершинами в любых трёх — рациональным числом (отличным от нуля)?
Пусть $q$ — натуральное число, $q\ge3$. Докажите, что если $k^2+k+q$ — простое число для всех целых $k$, где $0\le k\le\sqrt{q/3}$ то $k^2+k+q$ — простое для всех целых $k$, где $0\le k\le q-2$.
Докажите, что предпоследняя цифра числа $3^n$ при любом натуральном $n\gt2$ чётна.