«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Биссектрисы $AK$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что если $OK=OM$, то либо углы $A$ и $B$ треугольника равны, либо угол $C$ равен $60^\circ$.
Натуральный ряд 1, 2, 3, $\ldots$ разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.
Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с
числом сторон?
Для каждого натурального числа $$ A=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\ldots+10a_1+a_0 $$ (с десятичной записью $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_1a_0}$) положим $$ D(A)=a_n+2a_{n-1}+2^2a_{n-2}+\ldots+2^{n-1}a_a+2^na_0. $$ Например, $D(1985)=1+2\cdot9+2^2\cdot8+2^3\cdot5=91$, $D(91)=9+2\cdot1=11$, $D(11)=3$.
Докажите, что уравнение $4x^n+(x+1)^2=y^2$ относительно натуральных чисел $x$ и $y$
Про треугольник $ABC$ с длинами сторон $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ известно, что $3\widehat{A}+2\widehat{B}=180^\circ$. Докажите, что $a^2+bc-c^2=0$.
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбирается точка $P$, и через неё проводятся прямые, параллельные $BC$ и $AC$, до пересечения со сторонами $AC$ и $BC$ соответственно в точках $M$ и…
Существует ли такая прогрессия из
На сторонах правильного шестиугольника взяты точки $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_6$ (рис. 1). Известно, что три попарно не смежные стороны шестиугольника $A_1\ldots A_6$ ($A_1A_2$, $A_3A_4$, $A_5A_6$) определяют…