«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Квадрат расчерчен на $n\times n$ клеток. Двое игроков по очереди обводят по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если
Из цифр 1, 2, $\ldots$, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.
Через точку пересечения биссектрисы угла $A$ треугольника $ABC$ и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Докажите, что длина меньшего основания образовавшейся трапеции равна полусумме длин её…
Длина стороны квадрата $ABCD$ равна 1. На сторонах $AB$ и $AD$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что периметр треугольника $APQ$ равен 2. Доказать, что $\widehat{PCQ}=45^\circ$.
Пусть $x$, $y$, $z$ — длины сторон треугольника. Докажите, что величина $$ \left|\dfrac{x-y}{x+y}+\dfrac{y-z}{y+z}+\dfrac{z-x}{z+x}\right| $$ меньше:
Квадрат $ABCD$ вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка $PQ$, где $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на неподвижную прямую $l$, а $Q$…
На переговорном пункте установлены автоматы для размена серебряных монет достоинством 10, 15 и 20 копеек, действующие так, как показано на рисунке 1. У Пети был 1 руб. 25 коп. серебряными монетами, и он все их разменял в автоматах на медь. Вася, посчитав сколько каких монет…
Можно ли жёсткий правильный тетраэдр с ребром 1 протащить сквозь обруч диаметра: