«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Каждые две из $n$ точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник $ABC$ с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях $AB$,…
(Эволюция кляксы.) На белой плоскости расположена синяя фигура $K_0$. Из неё получается новая синяя фигура $K_1$ по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам $M$ плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке…
Докажите, что если $$ x^2+y^2=u^2+v^2=1,\quad xu+yv=0, $$ то $$ x^2+u^2=y^2+v^2=1,\quad xy+uv=0. $$
На плоскости дано конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти отрезки разрешается менять: если какие-то два из них, $AC$ и $BD$, пересекаются, их можно стереть и…
В кинотеатре $N+1$ мест. Вначале $N$ человек, имеющие билеты с указанием места (в их числе и Игорь), сели на произвольные $N$ мест, не глядя на свои билеты. Пришедший последним $(N+1)$-й зритель хочет занять своё место; если оно занято, —…
Натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ удовлетворяют условию $a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$. Докажите, что по крайней мере
Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что в одном из них найдётся три числа, одно из которых равно сумме двух других (или два числа, из которых одно вдвое больше другого).
В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Известно, что длины отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и…
В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелить анаконду сразу в 6 местах. Не преувеличивает ли барон? (Анаконду можно считать произвольной ломаной длины 10, расположенной внутри…