На сторонах $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Докажите, что $S_{A_1B_1C_1} \le \dfrac{S_{ABC}}{4}$.
На гранях $BCD$, $CDA$, $BDA$, $ABC$ тетраэдра $ABCD$ выбраны соответственно точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ пересекаются в одной точке. Докажите, что $V_{A_1B_1C_1D_1} \le \dfrac{V_{ABCD}}{27}$.
Прежде всего докажем несколько простых, но очень полезных лемм об отношениях площадей треугольников и объёмов тетраэдров.
Рис. 1Рис. 2Рис. 3
(1) Если прямая $MM_1$ пересекает прямую $KL$ в точке $P$ (рис. 1), то
$$
S_{KLM}:S_{KLM_1}=|MP|:|M_1P|.
$$
Это следует из очевидного равенства $h_M:h_{M_1}=|MP|:|M_1P|$, где $h_M$ и $h_{M_1}$ — высоты треугольников $KLM$ и $KLM_1$.
(2) Если точки $L_1$ и $M_1$ лежат на прямых $KL$ и $KM$ (рис. 2), то
$$
S_{KLM}:S_{KL_1M_1}=\dfrac{|KL|\cdot|KM|}{|KL_1|\cdot|KM_1|}.
$$
Действительно, $\dfrac{S_{KLM}}{S_{KL_1M_1}}=\dfrac{S_{KLM}}{S_{KL_1M}}\cdot\dfrac{S_{KL_1M}}{S_{KL_1M_1}}=\dfrac{|KL|}{|KL_1|}\cdot\dfrac{KM|}{|KM_1|}$ в силу (1).
(3) Если прямая $NN_1$ пересекает плоскость $KLM$ в точке $P$, то
$$
V_{KLMN}:V_{KLMN_1}=|NP|:|N_1P|.
$$
(Доказывается аналогично (1).)
(4) Если точки $L_1$, $M_1$, $N_1$ лежат на прямых $KL$, $KM$, $KN$, то
$$
V_{KLMN}:V_{KL_1M_1N_1}=\dfrac{|KL|\cdot|KM|\cdot|KN}{|KL_1|\cdot|KM_1|\cdot|KN_1}.
$$
(Доказывается аналогично (2).)
Перейдём непосредственно к решению задачи.
а) Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$; $S$, $S_A$, $S_B$ и $S_C$ — площади треугольников $ABC$, $OBC$, $OCA$ и $OAB$ (рис. 3). Тогда по (1)
$$
\dfrac{|OA|}{|OA_1|}=\dfrac{|AA_1|-|OA_1|}{|OA_1|}=\dfrac S{S_A}-1=\dfrac{S-S_A}{S_A}.
$$
Аналогичные соотношения выполняются для отрезков $BB_1$ и $CC_1$. Таким образом,
$$
\dfrac{|OA|}{|OA_1|}=\dfrac{S-S_A}{S_A},\quad
\dfrac{|OB|}{|OB_1|}=\dfrac{S-S_B}{S_B},\quad
\dfrac{|OC|}{|OC_1|}=\dfrac{S-S_C}{S_C}.
$$
Разобьём $\triangle A_1B_1C_1$ на три треугольника отрезками $OA_1$, $OB_1$ и $OC_1$ и оценим площадь каждого из них отдельно.
В силу (2)
$$
\begin{gather*}
S_{OA_1B_1}=S_{OAB}\cdot\dfrac{|OA_1|\cdot|OB_1|}{|OA|\cdot|OB|}=
S_C\cdot\dfrac{S_AS_B}{(S-S_A)(S-S_B)}=\\
=\dfrac{S_AS_BS_C}{(S-S_A)(S-S_B)(S-S_C)}\cdot(S-S_C)=k\cdot(S-S_C).
\end{gather*}
$$
Складывая это равенство с аналогичными равенствами для треугольников $OB_1C_1$ и $OC_1A_1$, получим:
$$
S_{A_1B_1C_1}=k((S-S_C)+(S-S_A)+(S-S_B))=2kS.\tag{*}
$$
Чтобы оценить $k$, запишем «неравенства о средних» для $S_A$ и $S_B$, $S_b$ и $S_C$, $S_C$ и $S_A$:
$$
\sqrt{S_AS_B}\le\dfrac{S_A+S_B}2,\quad\sqrt{S_BS_C}\le\dfrac{S_B+S_C}2,\quad\sqrt{S_CS_A}\le\dfrac{S_C+S_A}2
$$
и перемножим их:
$$
S_AS_BS_C\le\dfrac18(S_A+S_B)(S_B+S_C)(S_C+S_A)=\dfrac18(S-S_C)(S-S_A)(S-S_B).\tag{**}
$$
Таким образом, $k\le\dfrac18$ и $S_{A_1B_1C_1}\le\dfrac14S_{ABC}$.
Рис. 4
б) Приведём лишь общий план доказательства — оно почти дословно повторяет рассуждения пункта а). Пусть $O$ — точка пересечения данных отрезков, $V$, $V_A$, $V_B$, $V_C$, $V_D$ — объёмы тетраэдров $ABCD$, $OBCD$, $OCDA$, $ODAB$ и $OABC$ (рис. 4). Пользуясь леммами (3) и (4) (вместо (1) и (2) в пункте а)), легко показать, что $$
V_{A_1B_1C_1D_1}=3kV,
$$
(ср. (*)), где $$
k=\dfrac{V_AV_BV_CV_D}{(V-V_A)(V-V_B)(V-V_C)(V-V_D)}.
$$
Перемножая «неравенства о средних» для всех четырёх троек, составленных из чисел $V_A$, $V_B$, $V_C$ и $V_D$, $\!\sqrt[\scriptstyle3~]{V_AV_BV_C}\le\dfrac13(V_A+V_B+V_C)=\dfrac13(V-V_D)$, $\ldots$, получим (ср. (**)), что $k\le\dfrac1{81}$, и, следовательно, $V_{A_1B_1C_1D_1}\le\dfrac1{27}V_{ABCD}$.
