Точка $O$ — середина оси прямого кругового цилиндра, $A$ и $B$ — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, $C$ — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости $OAB$. Докажите, что сумма двугранных углов трёхгранного угла $OABC$ (с вершиной $O$) равна $2\pi$.
Пусть $D$ — точка окружности верхнего основания цилиндра, диаметрально противоположная точке $C$ (рис.). Мы докажем, что трёхгранные углы $OABC$, $OBCD$, $OCDA$ и $ODAB$ с общей вершиной $O$ попарно конгруэнтны. Поскольку каждые три из этих углов имеют общее ребро ($OA$, $OB$, $OC$ или $OD$), очевидно, что сумма их двугранных углов при этом ребре равна $2\pi$, а сумма всех их 12 двугранных углов равна $4\cdot2\pi=8\pi$. Следовательно, сумма двугранных углов каждого из них, в частности угла $OABC$, равна $\dfrac{8\pi}4=2\pi$.
Для доказательства конгруэнтности этих трёхгранных углов заметим, что противоположные рёбра тетраэдра $ABCD$ попарно равны ($|AB|=|CD|$ как диаметры конгруэнтных окружностей, а рёбра $AC$ и $BD$, а также $AD$ и $BC$ взаимно симметричны относительно оси цилиндра (см. рис.). А так как точка $O$ равноудалена от всех вершин тетраэдра, $\triangle OAB\cong\triangle OCD$, $\triangle OAC\cong\triangle OBD$ и $\triangle OAD\cong\triangle OBC$. Поэтому рассматриваемые трёхгранные углы имеют соответственно равные плоские углы, а значит, конгруэнтны. Конгруэнтность трёхгранных углов можно доказать и явно, заметив, что прямые, соединяющие середины рёбер $AC$ и $BD$, а также $AD$ и $BC$, как и ось цилиндра, являются осями симметрии тетраэдра $ABCD$.
Тетраэдр $ABCD$ с конгруэнтными гранями, который помог нам решить задачу, обладает многими замечательными свойствами. Большой список его свойств имеется в статье В. Э. Матизена в «Кванте» №7 за этот год.
