«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Касательные к описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности, проведённые в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PC$
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т. д.). Может ли случиться так, что через некоторое время все…
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ верно неравенство
Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника.
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известны величины двух углов $\angle A=\alpha$ и $\angle B=\beta$, а его удвоенная площадь равна ${AB}\cdot{CD}+{BC}\cdot{AD}$. Найдите отношение длин всех его сторон $AB:BC:CD:DA$, если
Докажите, что уравнение $$ \sin^px+\cos^qx=1, $$ где $p$ и $q$ — положительные числа, имеет решение на интервале $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ тогда и только тогда, когда $(p-2)(q-2)\lt0$ или $p=q=2$.