«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $a$, $b$, $c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде $$ xbc+yca+zab $$ (где $x$, $y$, $z$ — неотрицательные…
Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$, разбиты на два множества $E_1$ и $E_2$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств $E_1$ и $E_2$ найдётся тройка вершин прямоугольного…
Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих $10^5$, так, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т. е. ни одной тройки $a$, $b$, $c$, в которой $a+c=2b$)?
Докажите, что произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника.
В вершинах треугольника $ABC$ восстановлены перпендикуляры $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ к его плоскости по одну сторону от неё, равные по длине соответствующим высотам треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей…
Для каких $n$ из $n$ уголков, состоящих из четырёх клеток $1\times1$, и некоторого числа прямоугольников $4\times1$ (рис. 1) можно составить центрально-симметричную фигуру (многоугольник на клетчатой бумаге)?
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон правильного многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей.