«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пете подарили микрокалькулятор, на котором можно выполнять следующие операции: по любым данным числам $x$ и $y$ вычислить $x+y$, $x-y$, $x+1$ и $\dfrac1x$ (при $x\ne0$). Петя утверждает, что с помощью своего…
Решите в натуральных числах уравнения
Из вершины $P$ тетраэдра $PABC$ проводятся три отрезка $PA'$, $PB'$, $PC'$, перпендикулярные граням $PBC$, $PCA$, $PAB$ и равные по длине площадям этих граней соответственно (направления…
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $K$ первой окружности проводятся прямые $KA$ и $KB$, пересекающие вторую окружность в точках $P$ и $Q$ (рис. 2). Докажите, что…
Обозначим через $\sigma (n)$ сумму всех делителей натурального числа $n$. $$ \def\a#1{\enspace\mathclap{#1}\enspace} \def\|{\vphantom{\dfrac12}} \begin{array}{|c|cccccccccccc|} \hline \a{n}&&\a1&\a2&\a3&\a4&\a5&\a6&\a7&\a8&\a9&\a{10}&\|\\ \hline ~\a{\sigma(n)}~&&\a1&\a3&\a4&\a7&\a6&\a{12}&\a8&\a{15}&\a{13}&\a{18}&\|\\ \hline \end{array} $$ Докажите, что существует бесконечно много $n$ таких, что
Точка $P$ расположена внутри квадрата $ABCD$ так, что $|AP|:|BP|:|CP|=1:2:3$. Найдите $\widehat{APB}$.
Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, т. е. что для любого набора из $n$ цифр $a_1$, $a_2$, $\ldots$,…
На окружности отметили $4k$ точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем $2k$ красных точек произвольным образом соединили попарно $k$ красными отрезками, а $2k$ синих — $k$ синими отрезками (никакие три…