«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Правильный треугольник $ABC$ полностью покрыт пятью меньшими равными правильными треугольниками. Докажите, что треугольник $ABC$ можно полностью покрыть четырьмя такими треугольниками (эти треугольники разрешается передвигать).
Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$, 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?
Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном городе. Каждый участок представляет собой квадрат $1\times1$ и все участки вместе составляют квадрат $5\times5$. Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить…
Все стороны выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности одного из треугольников $ACE$ и $BDF$ не меньше 1.
Обозначим через $\{x\}$ дробную часть числа $x$; $\{x\}=x-[x]$, где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?
За круглым столом сидят $n$ участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту…
На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку $A$ и три — через точку $B$ (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от $A$ и $B$, — вершины…
Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, $\ldots$, 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.