Задачи по математике, стр. 82 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задача М938
Радиус круга с центром $O$‍‍ равномерно вращается, поворачиваясь за одну секунду на угол $\dfrac{360^\circ}n$‍‍ (где $n$‍‍ — натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение $OM_0$‍,‍ через секунду — положение $OM_1$‍,‍ ещё через 2…
Задача М939
В клетки таблицы $10\times10$‍‍ записывают каким-либо образом цифры 0, 1, $\ldots$‍,‍ 9 так, что каждая цифра встречается 10 раз.
1. Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и каждом столбце встречалось не более 4 различных цифр?
Задача М940
1. Квадрат разбит на прямоугольники. Назовём цепочкой такое множество этих прямоугольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытий (рис. 1). Докажите, что любые два прямоугольника входят в некоторую…
Задача М941
Дан правильный $(4k+2)$‍‍-угольник $A_0A_1 \ldots A_{4k+1}$‍‍ с центром $O$‍.‍ Докажите, что сумма отрезков, высекаемых углом $A_kOA_{k+1}$‍‍ на прямых $A_1A_{2k}$‍,‍ $A_2A_{2k-1}$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_kA_{k+1}$‍‍ (см. рисунок 1 для $k=2$‍),‍ равна радиусу…
Задача М942
Числа 1, 2, $\ldots$‍,‍ $2n-1$‍,‍ $2n$‍‍ разбиты на две группы по $n$‍‍ чисел в каждой. Пусть $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$‍‍ — числа первой группы в порядке возрастания, $b_1\gt b_2\gt\ldots\gt b_n$‍‍ — числа второй группы в порядке убывания. Докажите,…
Задача М943
Последовательность $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍‍ задаётся правилами: $a_{2n}=a_n$‍‍ при $n\ge 1$‍‍ и $a_{4n+1}=1$‍,‍ $a_{4n+3}=0$‍‍ при $n\ge 0$‍.‍ Докажите, что эта последовательность не имеет периода.
Задача М944
Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 2. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против…
Задача М945
Дана строго возрастающая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍‍ Докажите, что для всех достаточно больших $k$‍‍ справедливо неравенство
Задача М946
Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
Задача М947
На доске в строку написаны числа $$1\quad\dfrac{1}{2}\quad\dfrac{1}{3}\quad\dfrac{1}{4}\quad{\ldots}\quad\dfrac{1}{10}\quad\dfrac{1}{11}\quad\dfrac{1}{12}.$$
1. Докажите, что как бы мы ни расставили знаки «$+$‍‍» и «$-$‍‍» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю.
2. Какое наименьшее количество написанных чисел…

Задачи по математике‍1094