«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $h_a$, $h_b$, $h_c$ — высоты, а $m_a$, $m_b$, $m_c$ — медианы остроугольного треугольника (проведённые к сторонам $a$, $b$, $c$), $r$ и $R$ —…
Докажите, что при любом натуральном $n$ $$ \dfrac12+\dfrac1{3\sqrt{2}}+\dfrac1{4\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac1{(n+1)\sqrt{n}}\lt2. $$
Даны отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ одинаковой длины (точка $B$ лежит внутри угла $AOC$). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не…
Отметим в натуральном ряде числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например $$ 72=6^2+6^2,\quad 73=8^2+3^2,\quad 74=7^2+5^2. $$
На окружности расставлены $4k$ точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, $\ldots$, $4k$.
Натуральные числа $a$ и $b$ получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что
Точка $K$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$. Докажите, что соотношение $$ |AK|^2=|AB|\cdot|AC|-|KB|\cdot|KC| $$ выполнено тогда и только тогда, когда $|AB|=|AC|$ или $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$.
Пусть какие-то $k$ вершин правильного $n$-угольника закрашены синим цветом (остальные вершины — чёрные). Будем называть множество закрашенных вершин равномерным, если при любом $m$ количества синих вершин в любых двух наборах из…
В Швамбрании $n$ городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы в разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что, выехав из любого города, в него уже нельзя…