«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
Найти сумму $$ \phi(0)+\phi\left(\dfrac{1}{n}\right)+\phi\left(\dfrac{2}{n}\right)+\ldots+\phi(1), $$ если $\phi(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}$.
Докажите аналогичное неравенство:
В вершинах правильного $n$-угольника с центром в точке $O$ расставлены числа ($+1$) и ($-1$). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого-либо правильного $k$-угольника с центром…
Треугольник, все стороны которого больше 1 см, назовём «большим». Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной 5 см. Докажите, что:
На плоскости даны три окружности одинакового радиуса.
На окружности расположены $n$ действительных чисел ($n\ge3$), сумма которых равна нулю. Одно из этих чисел равно 1.
На отрезке длины 7 можно поставить пять точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1$, 2, $\ldots$, 7 нашлись две из этих пяти точек на расстоянии $m$.
Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$ точек нужно поставить на…
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ назовём универсальной для данного $N$, если из неё можно получить вычёркиванием части членов любую последовательность из $N$ чисел, в которую каждое из…