Задача М396‍‍

Мы решим пункты б) и в) задачи для треугольника со стороной 3 см; это же решение годится и для треугольника со стороной 5 см. Пункт а) немедленно следует из б).

Итак, пусть $ABC$‍‍ — правильный треугольник со стороной 3 см (рис. 1). Пусть $K$‍‍ и $L$‍‍ — точки, делящие сторону $AC$‍‍ на три равные части, $P$‍‍ — середина стороны $BC$‍.‍ Восстановим из точек $K$‍‍ и $L$‍‍ перпендикуляры $KN$‍‍ и $LM$‍‍ к стороне $AC$‍;‍ пусть $N_1=[AP]\cap[KN)$‍,‍ $M_1=[CN_1]\cap[LM)$‍,‍ $N_2=[AM_1]\cap[KN)$‍,‍ $M_2=[CN_2]\cap[LM)$‍‍ и т. д. Мы получаем разбиение треугольника на треугольники $ABP$‍,‍ $CPN_1$‍,‍ $AN_1M_1$‍,‍ $CM_1N_2$‍,‍ $AN_2M_2$‍‍ и т. д. Все эти треугольники — «большие»: стороны каждого из них больше 1 см ($|BP|=|CP|=1{,}5~\text{см}$‍,‍ а остальные стороны больше 1 см, поскольку их проекции на $AC$‍‍ не меньше 1 см). Из решения ясно, что вместо числа 1000 можно было бы написать любое другое сколь угодно большое число.

Построение триангуляции треугольника $ABC$‍‍ на «большие» треугольники (пункт в) задачи) основано на той же идее.

Пусть точки $K$‍,‍ $L$‍‍ и $P$‍‍ — такие же, как и раньше, $KN$‍‍ и $LM$‍‍ — перпендикуляры к $AC$‍,‍ точка $N_1=[AP]\cap[KN)$‍.‍

Возьмём на отрезке $KN_1$‍‍ точку $N_2$‍‍ и соединим её с точками $A$‍,‍ $P$‍‍ и $C$‍‍ (рис. 2). Обозначим через $M_1$‍‍ точку пересечения $[LM)$‍‍ с $[CN_2]$‍:‍ $M_1=[CN_2]\cap[LM)$‍.‍ На отрезке $LM_1$‍‍ возьмём точку $M_2$‍‍ и соединим её с точками $A$‍,‍ $N_2$‍‍ и $C$‍.‍ Через $M_3$‍‍ обозначим точку пересечения $[KN]$‍‍ с $[AM_2]$‍;‍ на отрезке $KM_3$‍‍ возьмём точку $M_4$‍,‍ соединим её с точками $A$‍,‍ $M_2$‍‍ и $C$‍‍ и т. д.

Продолжая этот процесс, мы получим (по той же причине, что и выше) искомую триангуляцию треугольника $ABC$‍‍ на «большие» треугольники $ABP$‍,‍ $APN_2$‍,‍ $CN_2P$‍,‍ $AN_2M_2$‍,‍ $CN_2M_2$‍,‍ $\ldots$‍‍ (число треугольников может быть сделано каким угодно).