Условие задачи (1976, № 8) Задача М398 // Квант. — 1976. — № 8. — Стр. 36—37; 1977. — № 6. — Стр. 30—34.
На окружности расположены
- Докажите, что есть два соседних числа, различающихся не менее чем на
$\dfrac4n$. - Докажите, что есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на
$\dfrac8{n^2}$. - Оценку, предложенную в предыдущем пункте, можно улучшить. Попробуйте заменить в ней число 8 каким-нибудь большим числом так, чтобы утверждение этой задачи по-прежнему выполнялось для всех натуральных чисел.
- Докажите, что для
$n=30$ на окружности есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на$\dfrac2{113}$. Приведите пример набора 30 чисел на окружности, в котором ни одно число не отличается от среднего арифметического двух своих соседей более чем на$\dfrac2{113}$. - Найдите в этой задаче точную оценку разности между числом и средним арифметическим его соседей для любого
$n$.
Изображения страниц
Решение задачи (1977, № 6) Задача М398 // Квант. — 1976. — № 8. — Стр. 36—37; 1977. — № 6. — Стр. 30—34.
Решение задачи приведено в статье
Васильев Н. Б., Толпыго А. К. Плавные последовательности // Квант. — 1977. — № 6. — С. 30—34.