«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
6 активистов класса образовали 30 различных комиссий. Каждые две комиссии различаются составом, но обязательно «пересекаются», т. е. имеют общего члена. Докажите, что можно образовать ещё одну комиссию, пересекающуюся с каждой из этих 30 комиссий.
Дан полином $$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_n $$ с целыми коэффициентами и натуральные числа $k$ и $p$. Докажите, что если ни одно из чисел $f(k)$, $f(k+1)$, $\ldots$, $f(k+p)$ не делится на $p+1$, то уравнение $f(x)=0$…
Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Докажите, что если $ab$ чётно, то найдутся такие натуральные числа $c$ и $d$, что $a^2+b^2+c^2=d^2$, а если $ab$ нечётно, то таких $c$ и…
Два одинаково ориентированных квадрата $OABC$ и $OA_1B_1C_1$ имеют общую вершину $O$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через одну точку.
На клетчатой бумаге нарисован выпуклый многоугольник с вершинами в узлах (в углах клеток). Выберем какую-нибудь вершину $O$ многоугольника $F$ и обозначим через $nF$ многоугольник, полученный из $F$ растяжением в…
Квадратная комната разгорожена перегородками, параллельными стенам, на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.
Существует ли такое натуральное число, что если приписать его само к себе справа, то получится точный квадрат?
Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбить на «доминошки» (каждая доминошка покрывает две соседние клетки) так, чтобы каждая прямая, идущая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек?
Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, для которых сумма цифр числа $2^n$ больше суммы цифр числа $2^{n+1}$.