«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Из одной точки $O$ на плоскости проведено $n$ векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого $k\lt\dfrac{n}{2}$ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через $O$, лежит не менее $k$ векторов, то длина суммы всех…
Найдите все натуральные числа $a$, для которых число $a-1$ является суммой
делителей числа $a$ (не обязательно различных; в число…
Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата синие, другого — красные. Докажите, что сумма длин синих сторон восьмиугольника равна сумме длин его красных сторон.
Докажите, что сумма всех чисел вида $\dfrac1{mn}$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, $1\le m\lt n\lt1986$, не является целым числом.
В дугу $AB$ вписана ломаная $AMB$ из двух отрезков ($AM\gt MB$). Докажите, что основание перпендикуляра $KH$, опущенного из середины $K$ дуги $AB$ на отрезок $AM$, делит ломаную пополам: $AH=HM+MB$…
В куче 1001 камень. Она произвольно делится на две кучи, подсчитывается число камней в них и записывается произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в которой больше одного камня) проделывается та же операция: она делится на две и записывается произведение чисел камней в двух вновь…
В треугольнике $ABC$ проведены три высоты $AH$, $BK$, $CL$. Докажите равенства $$ AK\cdot BL\cdot CH=AL\cdot BH\cdot CK=HK\cdot KL\cdot LH. $$
На сфере радиуса 1 проведена:
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…
Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере у подножья скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 м/ч, а после холодной ночёвки на скале — 30 м/ч. По готовой верёвке он поднимается со скоростью 400 м/ч. За сколько дней он…
Первые 8 натуральных чисел можно расставить в две строки так, что сумма чисел в верхней строке равна сумме чисел в нижней, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом первые