Задача М846‍‍

Пусть $n$‍‍ — число сторон многоугольника (естественно, мы‍ считаем $n\ge4$‍);‍ тогда число его диагоналей равно $\dfrac{n(n-3)}2$‍‍ (поскольку из каждой вершины выходят $n-3$‍‍ диагоналей и при этом каждая диагональ учитывается дважды). Таким образом, надо доказать, что $$ \dfrac sn\lt\dfrac d{\dfrac{n(n-3)}2},\tag{*} $$ где $s$‍‍ — сумма длин всех сторон многоугольника, а $d$‍‍ — всех его диагоналей.

Рассмотрим две несмежные стороны $AB$‍‍ и $CD$‍‍ и две пересекающиеся диагонали $AC$‍‍ и $BD$‍,‍ соединяющие их концы (см. рисунок). Так как $|AB|\lt|AO|+|OB|$‍,‍ $|CD|\lt|CO|+|OD|$‍,‍ где $O$‍‍ — точка пересечения диагоналей, имеем $$ |AB|+|CD|\lt|AC|+|BD| $$

Сложим такие неравенства для всех пар несмежных сторон. Каждая сторона входит в $n-3$‍‍ пар, а каждая диагональ — в две; поэтому в левой части получим $(n-3)s$‍,‍ а в правой — $2d$‍.‍ Итак, $$ (n-3)s\lt2d, $$ что эквивалентно (*).