«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Учитель написал на доске квадратный трёхчлен $x^2+10x+20$. Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при $x$ или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен…
При каких целых $m$ и $n$ выполняется равенство
По кругу выписано $n\ge3$ натуральных чисел, причём отношение суммы двух соседей любого из этих чисел к нему самому является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений
На окружности, касающейся сторон угла с вершиной $O$, выбраны две диаметрально противоположные точки $A$ и $B$ (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке $B$ пересекает стороны угла в точках $C$ и…
Из листа клетчатой бумаги размерами $29\times 29$ клеток вырезали 99 квадратиков размерами $2\times 2$ каждый. Докажите, что из него можно вырезать ещё один такой квадратик.
Докажите, что если сумма плоских углов при вершине пирамиды больше $180^\circ$, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра её основания.
Про пять целых чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ известно, что суммы $a+b+c+d+e$ и $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$ делятся на нечётное число $p$. Докажите, что число $$ a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde $$ также делится на…
В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, $\ldots$ каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встретятся подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой её вершины.
Сумма трёх целых чисел $a$, $b$ и $c$ равна 0. Докажите, что число $2a^4+2b^4+2c^4$ — квадрат целого числа.