«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два правильных треугольника со сторонами больше $\sqrt{2/3}$, не налегающих друг на друга?
Пусть $k$ и $n$ — натуральные числа, $k\le n$. Назовём набор $k$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ меньших 1 исключительным, если для любого разбиения $n=n_1+n_2+\ldots+n_k$…
Внутри выпуклого
с вершинами $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ взята точка $O$. Докажите, что среди $\dfrac{n(n-1)}{2}$ углов…
Докажите, что число $11\ldots1$ (1986 единиц) имеет по крайней мере
различных делителей.
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону квадраты $ABB_1A_2$, $BCB_1C_2$, $CAA_1C_2$. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$,…
В турнире с участием 16 теннисистов каждые двое играют одну партию.
Через произвольную точку $K$ квадрата $ABCD$ проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что отличная от $K$ точка пересечения окружностей,…
Углом между двумя прямыми, пересекающимися в точке $O$, называется угол между их лучами с вершиной $O$, не превосходящий $90^\circ$. Сколькими способами через точку $O$ в пространстве можно провести три прямые $l_1$,…
Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $$ 2\sqrt{a\vphantom b}+3\sqrt[\scriptstyle3~]{b}\ge5\sqrt[\scriptstyle5~]{ab}. $$
В турнире участвуют $2m$ команд. В первом туре встретились некоторые $m$ пар команд, во втором — другие $m$ пар. Докажите, что после этого можно выбрать $m$ команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.