Задача М607‍‍

Заметим, что правильный треугольник легко разбить на равнобедренные трапеции (рис. 1); поэтому достаточно довести разбиение до правильного треугольника.

Теперь можно предложить следующие решения нашей задачи:

а) Искомые разбиения могут быть, например, такими, как на рисунках 2, 3.

б) Равнобедренный прямоугольный треугольник может быть разрезан, например, так, как показано на рисунках 4 и 5. Каждое из этих разбиений даёт новые способы разбиения квадрата.

Другие способы разрезания этих фигур получаются из пункта в).

в) Очевидно, каждый многоугольник разбивается на выпуклые многоугольники, а каждый выпуклый многоугольник разрезается на треугольники диагоналями, выходящими из любой вершины. Всякий же треугольник может быть разбит на два прямоугольных треугольника высотой, опущенной на одну из сторон; наконец, каждый прямоугольный треугольник можно разрезать на два равнобедренных, соединив середину гипотенузы с вершиной прямого угла.

Поэтому достаточно доказать утверждение для произвольного равнобедренного треугольника.

Будем для краткости называть равнобедренный треугольник с углом $\alpha$‍‍ при основании «$\alpha$‍‍-треугольником».

Рассмотрим три случая.

$1^\circ$‍.‍ $30^\circ\le\alpha\lt60^\circ$‍.‍ Нужное разрезание представлено на рисунке 6.

$2^\circ$‍.‍ $0\lt\alpha\lt30^\circ$‍.‍ Как видно из рисунка 7, если можно разрезать $2\alpha$‍‍-треугольник, то можно разрезать и $\alpha$‍‍-треугольник. Отсюда и из $1^\circ$‍‍ последовательно получаем разрезаемость равнобедренных треугольников с углами при основании $$ 15^\circ\le\alpha\lt30^\circ,\quad 7{,}5^\circ\le\alpha\lt15^\circ,\quad 3{,}75^\circ\le\alpha\lt7{,}5^\circ,\quad\ldots $$ Поскольку любое $\alpha$‍,‍ $0^\circ\le\alpha\lt30^\circ$‍,‍ попадает, очевидно, в один из указанных промежутков, получаем, что при $\alpha\lt30^\circ$‍‍ всякий $\alpha$‍‍-треугольник также можно разрезать нужным образом.

$3^\circ$‍.‍ $60^\circ\le\alpha\lt90^\circ$‍.‍ Доказательство аналогично случаю $2^\circ$‍‍ (рис. 8). Очевидно, $\widehat{BAB'}=45^\circ-\dfrac\alpha2\lt45^\circ$‍‍ ($B'$‍‍ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$‍),‍ и поэтому треугольники $BAB'$‍‍ и $BCB'$‍‍ «разрезаемы».

Продолжая указанный процесс для треугольников $AB'C$‍‍ (точка $B''$‍),‍ $AB''C$‍,‍ $\ldots$‍,‍ мы, очевидно, рано или поздно получим равнобедренный треугольник с углом при основании, меньшим $60^\circ$‍.‍