«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Обозначим через $a_n$ целое число, ближайшее к $\sqrt{n}$. Найдите сумму $$ \dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\dfrac1{a_3}+\ldots+\dfrac1{a_{1980}}.$$
На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим провести еще несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающуюся ломаную. Всегда ли это можно сделать?
Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает её на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда…
Докажите, что ни при каком натуральном $m$ число $1978^m-1$ не делится на $1000^m-1$.
Докажите, что для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$.
Пусть $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — действительные числа, $0\le x_i\le1$. Докажите, что величина $$ x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+x_n-x_1x_2-x_2x_3-\ldots-x_{n-1}x_n-x_nx_1 $$ не превосходит
На каждой клетке шахматной доски стоит по фишке (рис. 1). Фишки нужно переставить так, чтобы расстояние между каждой парой фишек не уменьшилось по сравнению с расстоянием между ними при первоначальном расположении. Сколькими способами это можно сделать? (Расстоянием между фишками считается…
На прямоугольном листе бумаги в клетку некоторые клетки закрашены в чёрный цвет. Затем происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: клетка, имевшая чётное число чёрных соседей, становится белой, а имевшая нечётное число чёрных соседей — чёрной. (Соседями…