«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
Существуют ли
таких различных натуральных чисел, что для любых двух $a$ и $b$ из них сумма $a+b$ делится на разность $a-b$?
Поправка
В формулировку задачи М480, опубликованной в № 12 за 1977 г., вкралась ошибка. Задачу М480 в) следует читать так: последовательность $C_n$ определяется условиями $C_1=2$, $C_{n+1}=[3C_n/2]$ для $n\ge1$; докажите,…
В последовательности натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ каждый член $a_{k+1}$ равен сумме квадратов цифр в десятичной записи числа $a_k$ ($k\ge1$). Докажите, что при любом $a_1$ в этой…
Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше $2a$, но меньше $3a$; где $a$ — длина ребра тетраэдра.
а) Докажите, что отношение радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведенных из острых углов, не превосходит $1/5$.
б) Найдите наибольшее значение, которое может принимать это отношение.
При каких $n$ существует выпуклый $n$-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?
Какое из чисел больше:
На данных окружностях $\gamma_1$ и $\gamma_2$ построить по хорде так, чтобы эти хорды были гомотетичны с заданным центром $A$, принадлежащим $\gamma_1$, и чтобы длина хорды окружности $\gamma_2$ равнялась заданной величине $a$.