«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Полоска размерами $1\times n$ разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, $\ldots$, $n$. Сначала в один какой-нибудь квадрат пишут число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 — в один из соседних с уже занятыми…
Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырёх натуральных чисел так, что все 12 чисел различны: $$ 26=1+6+8+11=2+5+9+10=3+4+7+12. $$ Для каждого натурального $n$ обозначим через $K=K(n)$ наибольшее число четвёрок натуральных чисел, дающих в сумме $n$ и состоящих…
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$, $D$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $B$ с описанной окружностью. Докажите, что $\dfrac{\sin A}{\sin C}-\dfrac{\sin\angle CDK}{\sin\angle BDK}=1$.
Найдите все натуральные числа $x$ такие, что сумма $1+2+\ldots+x$ равна числу, полученному приписыванием к $x$ (в десятичной записи) слева цифры 1.
Найдите наименьшую возможную длину суммы семи единичных векторов с неотрицательными координатами на плоскости $Oxy$.
Можно ли разбить пространство:
Докажите, что для всех наборов $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $0\lt x_1\le x_2\le\ldots\le x_n$, выражение $$ x_2^{k}(x_1-x_3)+x_3^{k}(x_2-x_4)+\ldots+x_1^{k}(x_n-x_2) $$ неотрицательно при $k\gt 1$ и неположительно при $0\lt k\lt 1$.
Можно ли из чисел 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\ldots$ выбрать последовательность:
в которой каждое число равно разности двух…
Пусть $H$ — точка пересечения высот, $O$ и $I$ — центры описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника. Докажите, что из трёх отрезков $OH$, $IH$, $OI$ наибольший — $OH$.