«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре различные точки на прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами $AC$ и $BD$ пересекаются в точках $X$ и $Y$. Прямые…
Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа такие, что $abc=1$. Докажите, что $$ \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\ge \dfrac{3}{2}. $$
Найдите все целые $n\gt3$, для которых существуют $n$ точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ на плоскости, и действительные числа $r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_n$, удовлетворяющие…
Найдите наибольшее значение $x_0$, для которого существует последовательность положительных чисел $x_0$, $x_1$, $\ldots$, $x_{1995}$, удовлетворяющая следующим двум условиям:
Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник, в котором $AB=BC=CD$, $DE=EF=FA$ и $\angle BCD=\angle EFA=60^\circ$. Пусть $G$ и $H$ — две точки внутри шестиугольника такие, что $$ \angle AGB=\angle DHE=120^\circ.\tag{*} $$
Пусть $p$ — нечётное простое число. Найдите количество подмножеств $A$ множества $\{1,2,{\ldots},2p\}$ таких, что
На плоскости дан квадрат и невидимая точка $P$. Разрешается провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой прямой) лежит $P$. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить, лежит ли $P$ внутри квадрата?
Существуют ли
таких, что сумма любых трёх из них — простое число?
На плоскости даны три точки $A$, $B$, $C$. Проведите через $C$ прямую, произведение расстояний до которой от $A$ и $B$ наибольшее. Всегда ли такая прямая единственна?
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ , $a_n$ справедливо неравенство $$ a_1+a_2+\ldots+a_n-n\sqrt[\scriptstyle n~]{a_1a_2\ldots a_n}\ge(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_n})^2. $$