«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Пусть $m$ и $n$ — целые положительные числа. Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ — различные элементы множества $\{1,2,\ldots,n\}$ такие, что для любых индексов $i$, $j$, удовлетворяющих…
Дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=AC$. Предположим, что:
Для любого целого положительного числа $k$ через $f(k)$ обозначим число всех элементов в множестве $\{k+1,k+2,\ldots,2k\}$, в двоичном представлении каждого из которых имеется в точности три единицы.
Покажите, что существует множество $A$, состоящее из целых положительных чисел, которое обладает следующим свойством: для каждого бесконечного множества $S$ простых чисел существует $k\ge2$, а также существуют два целых положительных числа…
Лыжник проехал через каждую из $n$ деревень по 2 раза и вернулся в исходную точку. Всегда ли по его лыжне можно проехать так, чтобы в каждой из этих $n$ деревень побывать ровно один раз (возвращаться в исходную точку не обязательно)?
При каких натуральных $n\gt 1$ в таблице можно выбрать $n$ разных чисел в разных строках и разных столбцах? $$ \begin{array}{cccccc} 1&2&3&\ldots&n-1&n\\ n&1&2&\ldots&n-2&n-1\\ n-1&n&1&\ldots&n-3&n-2\\ &&&\mathclap{~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.~.}&&\\ 2&3&4&\ldots&n&1 \end{array} $$
На плоскости дан единичный вектор $\overrightarrow{v_1}$. Разрешается провести любую прямую и построить (ортогональную) проекцию $\overrightarrow{v_2}$ вектора $\overrightarrow{v_1}$ на эту прямую, затем точно так же из вектора $\overrightarrow{v_2}$ получить $\overrightarrow{v_3}$ и т. д. Можно ли добиться того,…
Полоска размерами $1\times n$ разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, $\ldots$, $n$. Сначала в один какой-нибудь квадрат пишут число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 — в один из соседних с уже занятыми…
Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырёх натуральных чисел так, что все 12 чисел различны: $$ 26=1+6+8+11=2+5+9+10=3+4+7+12. $$ Для каждого натурального $n$ обозначим через $K=K(n)$ наибольшее число четвёрок натуральных чисел, дающих в сумме $n$ и состоящих…
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$, $D$ — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине $B$ с описанной окружностью. Докажите, что $\dfrac{\sin A}{\sin C}-\dfrac{\sin\angle CDK}{\sin\angle BDK}=1$.