На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка $A$ — одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной в точке $A$ к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности.
С. Берлов
Санкт-Петербургская городская математическая олимпиада (1995 год)
Обозначим диаметры $BC$ и $DE$, а центры соответствующих окружностей — $O_1$ и $O_2$ и проведём из центров окружностей перпендикуляры к соответствующим диаметрам, пусть эти перпендикуляры пересеклись в точке $F$ (см. рисунок). Докажем, что $F$ — центр искомой окружности.
Заметим, что $O_1F\parallel AO_2$, так как $O_1F$ и $AO_2$ перпендикулярны $BC$. Аналогично $O_2F\parallel AO_1$. Значит, $AO_1FO_2$ — параллелограмм. Отсюда $FO_2=AO_1=BO_1$, а $FO_1=AO_2=DO_2$. Теперь из равенства треугольников $BO_1F$ и $FO_2D$ получаем, что $FB=FD$. Кроме того, точка $F$, по построению, лежит на серединных перпендикулярах к $BC$ и $DE$, а значит, $FC=FD=FE$, что и требовалось.
