«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для любой последовательности положительных чисел $a_n$ целые части квадратных корней из чисел $$ b_n=(a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_n}\right) $$ все различны.
Известно, что Земля — плоская. Верно ли, что любой выпуклый многогранник можно осветить точечным фонарём из некоторой точки пространства так, что его тень будет многоугольником, хотя бы один угол которого — острый?
Существует ли такой многочлен $P(x)$, что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени $P^n(x)$, $n\gt1$, — положительные?
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулём, которое при вычёркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $$ \dfrac{a+1}{b}+\dfrac{b+1}{a} $$ — целое число. Пусть $d$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Докажите, что $d^2\le a+b$.
Существует ли квадратный трёхчлен $p(x)$ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $p(n)$ также записывается одними единицами?
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны вещественные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,…
Профессор Тарантога в статье о сепульках дал $n$ определений сепуления. Аспиранты профессора постепенно доказали, что все эти определения эквивалентны. Каждый из аспирантов защитил диссертацию на тему: «Сепуление в смысле $i$-го определения…
Два художника играют в следующую игру на карте (первоначально пустой). Первый рисует новую страну (многоугольник, не лежащий внутри уже нарисованных), а второй красит её так, чтобы страны, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Может ли первый художник заставить второго…
Пусть $m$ и $n$ — целые положительные числа. Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ — различные элементы множества $\{1,2,\ldots,n\}$ такие, что для любых индексов $i$, $j$, удовлетворяющих…