Задача М1490‍‍

Пункт а) задачи легко доказать непосредственно. Дадим, однако, такое решение пункта б), из которого утверждение пункта а) будет следовать автоматически.

Так как $\pi\gt x+y\gt z$‍,‍ $\pi\gt y+z\gt x$‍,‍ $\pi\gt z+x\gt y$‍,‍ то существует трёхгранный угол, плоские углы при вершине $O$‍‍ которого — $2x$‍,‍ $2y$‍‍ и $2z$‍.‍ Отложим на образующих трёхгранный угол лучах единичные отрезки $OA$‍,‍ $OB$‍‍ и $OC$‍;‍ пусть $\angle BOC=2x$‍,‍ $\angle COA=2y$‍,‍ $\angle AOB=2z$‍.‍

Имеем: $AB=2\sin z$‍,‍ $BC=2\sin x$‍,‍ $AC=2\sin y$‍.‍

Следовательно, $S_{ABC}=4S$‍,‍ где $S$‍‍ — площадь треугольника со сторонами $\sin x$‍,‍ $\sin y$‍,‍ $\sin z$‍.‍ Далее, $$ S_{ABC}\lt S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COA}=\dfrac12(\sin 2z+\sin 2x+\sin 2y). $$ Неравенство пункта б) доказано.

Замечание. Дадим, в дополнение, чисто геометрическое решение пункта а).

Пусть $\angle AOB=x+y\ge\dfrac{\pi}{2}$‍‍ (см. рисунок). Тогда $z\lt\dfrac{\pi}{2}-\alpha$‍,‍ $\sin z\lt\sin(x+y)$‍.‍ Если $x+y\lt\dfrac\pi2$‍,‍ то последнее неравенство очевидно.

Докажем (геометрически), что $\sin(x+y)\lt\sin x+\sin y$‍.‍ Имеем: $\sin x=CD$‍,‍ $\sin y=BE$‍.‍ Но $CD\gt EF$‍,‍ $BE+EF\gt BH=\sin(x+y)$‍.‍