«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На всех шести рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах, выходящих из одной вершины, проведём плоскость. Докажите, что если три из них касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость тоже касается вписанного шара.
Найдите положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, удовлетворяющие системе $n$ уравнений $$ (x_1+x_2+\ldots+x_k)(x_k+x_{k+1}+\ldots+x_n)=1\quad (k=1{,}~2{,}~{\ldots}{,}~n), $$ если
Будем говорить, что два четырёхугольника — бумажный и картонный — подходят друг к другу, если картонный можно наложить на бумажный так, что все его вершины попадут на стороны бумажного (по одной на каждую) и при этом, если перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на…
Докажите, что если $m$ чётно, то все целые числа от 1 до $m-1$ можно выписать в таком порядке, что никакая сумма нескольких подряд не будет делиться на $m$.
На плоскости дано $n$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю $n$,…
Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $\ldots$ — некоторая последовательность точек на плоскости. Начав с некоторой точки $T_0$, построим последовательность $T_1$, $T_2$, $T_3$, $\ldots$, где…
Известно, что все рёбра многогранника $M$ равны между собой и касаются некоторого шара.
Докажите (для любых чисел $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$) неравенство $$\begin{gather*} ax+by+cz+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)}\ge\\ \ge\frac23(a+b+c)(x+y+z). \end{gather*}$$