«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечено 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два треугольника равной площади с вершинами в этих точках.
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — некоторая перестановка из чисел 1, 2, $\ldots$, $n$; $r_k$ — остаток от деления числа $a_1+a_2+\ldots+a_n$ на $n$ ($k=1$, 2, $\ldots$,…
Внутри треугольника $ABC$ взята произвольная точка $X$. Прямые $AX$, $BX$, $CX$ пересекают стороны $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$.…
На плоскости дан треугольник $ABC$. Прямая $p$ параллельна прямой $AB$ и расположена на расстоянии $AC$ от неё так, что внутри полосы, образованной этими двумя прямыми ($p$ и $AB$), нет внутренних точек треугольника…
Докажите, что если последняя цифра десятичной записи числа $m$ равна 5, то $12^m+9^m+8^m+6^m$ делится на 1991.
Дана полуокружность с диаметром $AB$. Постройте хорду $MN$, параллельную $AB$, так, чтобы трапеция $AMNB$ была описанной.
Докажите, что для любых $n$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, сумма которых равна 1, выполнено неравенство $$ \left(\dfrac{1}{a_1^2}-1\right) \left(\dfrac{1}{a_2^2}-1\right) \ldots \left(\dfrac{1}{a_n^2}-1\right) \ge \left(n^2-1\right)^n. $$
Докажите, что разность между числами $$ \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\ldots+\dfrac{1}{n-1}}}} \qquad\text{и}\qquad \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\ldots+\dfrac{1}{n-1+\dfrac{1}{n}}}}} $$ по модулю не превосходит $\dfrac{1}{(n-1)!n!}$.
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ такова, что при любом $k\gt 1$ $$ a_{k+1}=a_{k-1}a_k+1. $$ Докажите, что при $k\gt 9$ число $a_k-22$ — составное.