«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Через произвольную точку $P$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ параллельно его медианам $AK$ и $CL$ проведены прямые, пересекающие стороны $BC$ и $AB$ в точках $E$ и…
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$ выполнены неравенства $$ a+b+c\le\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b}\le\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}. $$
Дан параллелограмм $ABCD$, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой $AB$ относительно диагонали $AC$, пересекает в точке $Q$ прямую, симметричную прямой $DC$ относительно диагонали $DB$ (рис. 2). Найдите…
Докажите, что каждое из уравнений
имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, у кого впервые получится произведение больше
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную вокруг него окружность в точке $K$. Докажите, что длина проекции отрезка $AK$ на прямую $AB$ (или $AC$) равна полусумме длин сторон $AB$ и…
Медиана $BK$ и биссектриса $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Докажите равенство $$ \dfrac{|PC|}{|PL|}-\dfrac{|AC|}{|BC|}=1. $$
Обозначим через $d_k$ количество таких домов в вашем городе, в которых живёт не меньше $k$ жителей $(d_1\ge d_2\ge d_3\ge \ldots)$, и через $c_m$ — количество жителей в $m$-м по величине населения доме $(c_1\ge c_2\ge c_3\ge \ldots)$. Докажите равенства
Докажите, что
