«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите, что для любых $n$ вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ найдётся такое натуральное $k\le n$, что каждое из $k$ чисел $a_k$, $\dfrac{a_{k-1}+a_k}2$, $\dfrac{a_{k-2}+a_{k-1}+a_k}3$,…
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки $E$ до прямых $AB$, $BC$ и $CD$ равны соответственно $p$, $q$, $r$. Найдите расстояние от точки…
Найдите все натуральные числа $m$, для которых $$ 1!\cdot3!\cdot5!\cdot\ldots\cdot(2m-1)!=\left( \frac{m(m+1)}{2} \right)! $$ (через $n!$ обозначается произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$).
Дан треугольник $ABC$. Найдите внутри него точку $O$, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через точку $O$ и пересекающей стороны треугольника $AB$ в точке $K$ и $BC$ в точке…
Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством:
Ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых…
Текст задачи готовится
Инфракрасное излучение определённой длины волны поглощается метаном ($\mathrm{CH}_4$). При нормальных условиях слой чистого метана толщиной в 1 см поглощает 98% энергии излучения. Во сколько раз ослабится такое излучение при прохождении по вертикали атмосферы Земли?
При…
Длины двух сторон треугольника 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
Докажите, что каждое целое неотрицательное число можно представить в виде $\dfrac{(x+y)^2+3x+y}2$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа, и что такое представление единственно.
Две точки $P$ и $Q$ движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью $v$. Докажите, что на плоскости существует такая неподвижная точка $A$, расстояния от которой до точек $P$ и $Q$ в…
В таблице $m\times n$ расставлены произвольные числа. Разрешается одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой сумма чисел в любом столбце и…
Напряжённость электрического поля в электромагнитной волне частоты $\omega=2\cdot10^{16}$ $\text{с}^{-1}$, модулированной по амплитуде с частотой $\Omega=2\cdot10^{15}$ $\text{с}^{-1}$, меняется со временем по закону $E=a(1+\cos\Omega t)\cos\omega t$, где $a$ — постоянная. Определить энергию…
Внутри квадрата $A_1 A_2 A_3 A_4$ взята произвольная точка $P$. Из вершины $A_1$, опущен перпендикуляр на прямую $A_2P$, из вершины $A_2$ — на $A_3P$, из $A_3$ — на $A_4P$, из $A_4$ — на…
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Известно, что если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из машин, стоящих на дороге,…
Докажите, что числа 1, 2, $\ldots$, $n$ ни при каком $n$ нельзя разбить на две группы так, чтобы произведение чисел в одной группе равнялось произведению чисел в другой.
