Задача М121‍‍

Докажите, что для любых $n$‍‍ вещественных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ найдётся такое натуральное $k\le n$‍,‍ что каждое из $k$‍‍ чисел $a_k$‍,‍ $\dfrac{a_{k-1}+a_k}2$‍,‍ $\dfrac{a_{k-2}+a_{k-1}+a_k}3$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $\dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_k}k$‍‍ не превосходит $\dfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}n$‍.‍