«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Все стороны выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности одного из треугольников $ACE$ и $BDF$ не меньше 1.
Обозначим через $\{x\}$ дробную часть числа $x$; $\{x\}=x-[x]$, где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?
За круглым столом сидят $n$ участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту…
На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку $A$ и три — через точку $B$ (рис. 1). Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от $A$ и $B$, — вершины…
Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, $\ldots$, 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.
Пусть $0\le i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$ — целые числа. Докажите, что количество нечётных коэффициентов у многочлена $$ (1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\ldots+(1+x)^{i_n} $$ не меньше, чем у многочлена $(1+x)^{i_1}$.
В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более $\dfrac1{k-1}$ часть авиалиний таким образом, что среди любых $k$ городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если
Если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа $n$, то число $n$ представляется в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.