«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что константу 4 в правой части неравенства
В дугу $AB$ вписана ломаная $AMB$ из двух отрезков ($AM\gt MB$). Докажите, что основание перпендикуляра $KH$, опущенного из середины $K$ дуги $AB$ на отрезок $AM$, делит ломаную пополам: $AH=HM+MB$…
В куче 1001 камень. Она произвольно делится на две кучи, подсчитывается число камней в них и записывается произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в которой больше одного камня) проделывается та же операция: она делится на две и записывается произведение чисел камней в двух вновь…
В треугольнике $ABC$ проведены три высоты $AH$, $BK$, $CL$. Докажите равенства $$ AK\cdot BL\cdot CH=AL\cdot BH\cdot CK=HK\cdot KL\cdot LH. $$
Через вершину $A$ треугольника $ABC$, в котором $AB\ne AC$, проводятся всевозможные прямые. Докажите, что:
Клетки квадратной таблицы размером $n\times n$ ($n\ge3$) заполняются числами $\pm1$ по следующим правилам:
Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
Докажите, что треугольники с длинами сторон $a$, $b$, $c$ и $a_1$, $b_1$, $c_1$ подобны, если и только если $$ \sqrt{aa_1}+\sqrt{bb_1}+\sqrt{cc_1}=\sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a+b+c)}.$$
Лестница состоит из $2n+1$ ступеней. На $n$ нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель…