«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ удовлетворяют условию $a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$. Докажите, что по крайней мере
Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что в одном из них найдётся три числа, одно из которых равно сумме двух других (или два числа, из которых одно вдвое больше другого).
В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Известно, что длины отрезков $AA_{1}$, $BB_{1}$ и…
В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелить анаконду сразу в 6 местах. Не преувеличивает ли барон? (Анаконду можно считать произвольной ломаной длины 10, расположенной внутри…
13 рыцарей из $k$ разных кланов ($1 \lt k \lt 13$) сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков ровно $k$. Король Артур приказал рыцарям одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое ещё раз…
В пространстве расположено $2n$ ($n\ge 2$) точек (так, что никакие 4 не лежат в одной плоскости) и проведено $n^2+1$ отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
(Задача о гайке.) Если внутри правильного $2n$-угольника со стороной $a$ и центром $O$ поместить произвольным образом правильный $2n$-угольник со стороной $\dfrac a2$, то он накроет точку $O$. Докажите это…
Докажите, что за $3n+1$ взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый лёгкий и самый тяжёлый из $2n+2$ камней, если:
Существует ли такая фигура $F$, что ею нельзя накрыть полукруг радиуса $1$, а двумя её экземплярами можно накрыть круг радиуса $1$, если $F$:
Радиус круга с центром $O$ равномерно вращается, поворачиваясь за одну секунду на угол $\dfrac{360^\circ}n$ (где $n$ — натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение $OM_0$, через секунду — положение $OM_1$, ещё через 2…