«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что из $n$ четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналями, не более $n/2$ могут оказаться описанными около окружности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырёхугольников 4.
Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, $\ldots$, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m\gt3$ встретится не менее 4 и не более 5 $m$-значных чисел.
Докажите, что шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.
На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих $120^\circ$.
В каждой клетке квадратной таблицы $1987\times1987$ написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате $2\times2$ данной таблицы сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не превосходит 1987.
Два игрока поочерёдно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие $p$. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.
На целочисленной решётке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных…
График функции $y=f(x)$, определённой на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на угол $\pi/2$ вокруг начала координат.
На плоскости даны две замкнутые ломаные, каждая с нечётным числом звеньев. Все прямые, содержащие звенья этих ломаных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Доказать, что из каждой ломаной можно выбрать по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами…
В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены непересекающимися дорогами. Известно, что для любых трёх городов $A$, $B$, $C$ по этой сети дорог можно проехать из $A$ в $B$, не заезжая в…