Задача М1059‍‍

а) Покажем сначала, что $f(0)=0$‍.‍ Пусть $f(0)=a$‍,‍ т. е. график функции $f$‍‍ содержит точку $(0;a)$‍.‍ После двух поворотов на угол $\dfrac\pi2$‍‍ вокруг начала координат эта точка перейдёт в точку $(0;-a)$‍‍ (рис. 1), а поскольку она тоже должна лежать на графике, $a=-a=0$‍.‍

Допустим теперь, что уравнение $f(x)=x$‍‍ имеет ещё одно решение $x=b$‍‍ ($b\ne0$‍),‍ т. е. график проходит через точку $(b;b)$‍.‍ Тогда он проходит и через точку $(b;-b)$‍,‍ получаемую из $(b;b)$‍‍ тремя поворотами на $\dfrac\pi2$‍‍ (рис. 1). Но это невозможно.

Итак, уравнение $f(x)=x$‍‍ всегда имеет единственное решение $x=0$‍.‍

б) Искомую функцию можно определить так: $$ f(x)=\begin{cases} 0&\text{при}~x=0,\\ -\dfrac x2&\text{при}~4^k\le|x|\lt2\cdot4^k,\\ 2x&\text{при}~2\cdot4^{k-1}\le|x|\lt4^k, \end{cases} $$ где $k$‍‍ — произвольное целое число (график на рисунке 2).

Имеются и другие функции, удовлетворяющие условию; см., например, рисунок 3. Эту функцию на олимпиаде предложил К. Апситис (10 кл., ФМШ №1, Рига); интересно, что её можно задать при $x\ne0$‍‍ одной формулой $$ f(x)=\dfrac{x}{|x|}-x\cdot(-1)^{[-|x|]}, $$ где $[x]$‍‍ — целая часть $x$‍.‍