В каждой клетке квадратной таблицы $1987\times1987$ написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате $2\times2$ данной таблицы сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не превосходит 1987.
Разобьём квадрат на 994 области, как показано на рисунке: первая область — это угловая клетка, вторая — квадрат $3\times3$ без угловой клетки, третья — квадрат $5\times5$ без первых двух областей и т. д. В каждой из 993 областей, начиная со второй, сумма чисел не превосходит 2. Действительно, поместим в такую область квадраты $2\times2$ (красные квадраты на рисунке). Клетка $A$ будет покрываться ими дважды, а клетка $B$ не будет покрыта ни одним квадратом. Пусть в клетке $A$ стоит число $a$, в клетке $B$ — число $b$. По условию сумма чисел в каждом квадрате $2\times2$ равна 0, так что сумма всех чисел в этой области равна $b-a$ и, следовательно, не превосходит 2. Таким образом, сумма всех чисел таблицы не превосходит $1+2\cdot993=1987$.
С. Иванов, ученик 8 класса (Ленинград, школа № 239)
